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| Aufgabe | | Berechnen sie die Pseudoinverse der Vektoren u [mm] \in \IR^{1xn} [/mm] und v [mm] \in \IR^{nx1} [/mm] |
Ich wollte nur mal wissen ob das so geht wie ich das gerne möchte. Mit hilfe der Singulärwertzerlegung kann man ja Pseudoinverse zu jeder matrix ausrechnen. Es gilt [mm] A=UDV^{T} [/mm] mit U V orthogonalen Matrizen und D einer Diagonalmatrix
Also ich mache das mal für einen 1xn Vektor
Dann ist
[mm] \vec{v}=(v_{1}..................v_{n})
[/mm]
Der lässt sich ja zerlegen in einen 1x1 Vector eine 1xn Diagonalmatrix und einen nxn Orthogonalmatrix. Ich wollte v jetzt so zerlegen
1x1 Vector = 1
1xn Vector = [mm] ||v||_{2}*e_{1} [/mm] = [mm] \overline{u} [/mm] mit [mm] e_{1} \in \IR^{1xn} [/mm]
nxn Matrix = [mm] \pmat{ \bruch{v}{||v||_2} \\ * & * } [/mm] = [mm] V^{T}
[/mm]
das heißt in die erste Zeile der Matrix schreibe ich v dann ergänze ich die Matrix zu einer nxn Matrix so dass die Zeilen eine Basis des [mm] \IR^{n} [/mm] bilden. dann jage ich gram schmitt über die Zeilen. Dann steht ja in der ersten Zeile [mm] \bruch{v}{||v||_{2}}. [/mm]
Also v = [mm] \overline{u}*V^{T}. [/mm] Wenn ich das jetzt pseudoinvertieren ist [mm] v^{+} [/mm] = [mm] V*\overline{v^{t}}^{-1} [/mm] weil ansonsten die Multiplikation nicht hinhaut, die Frage ist nun ob ich einfach so schreiben kann? Weil da invertiere ich ja schon einen Vektor. Geht das auch anders?
Es kommt dann Raus [mm] v^{+}= \bruch{v^{t}}{||v||_{2}^{2}} [/mm] Das würde ja auch hinkommen denn [mm] \bruch{v*v^{t}}{||v||_{2}^{2}}=1 [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Sa 01.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin blascowitz,
ich weiss nicht, wie du die Pseudoinverse definierst. Wenn du darunter
die Moore-Penrose-Inverse verstehst, wie sie beispielsweise hier
![[]](/images/popup.gif) http://mathworld.wolfram.com/Moore-PenroseMatrixInverse.html
festgelegt ist, so hast du tatsaechlich Recht: [mm] $v^+=(v^Tv)^{-1}v^T$ [/mm] fuer
[mm] $v\in\IR^{n\times 1}$ [/mm] mit [mm] $\ne [/mm] 0$(!). Das kannst du ueberpruefen, indem
du die Definitionsgleichungen nachrechnest. Fuer den anderen Teil kannst
du ausnutzen: $(A')^+=(A^+)'$, was man ebenfalls direkt nachweisen kann.
Explizit heisst das [mm] $u^+=(u'u)^{-1}u$, [/mm] was du ja auch schon herausgefunden
hast.
lg
Luis
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