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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 11.01.2009 | | Autor: | LiN24 |
| Aufgabe | Gegeben sind folgende Abbildungen:
1) f: [mm] \IR³ \to \IR², (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T} \mapsto (x_{1}+x_{2}+x_{3}, x_{2}+x_{3}, )^{T}
[/mm]
2) f: [mm] \IR² \to \IR²: (a,b)^{T} \mapsto (ab,a+b)^{T}
[/mm]
3) f: [mm] \IR³ \to \IR³, [/mm] f [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] x_{1} \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] x_{2} \vektor{0 \\ 3 \\ 0} [/mm] + [mm] x_{3} \vektor{0 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
4) f: [mm] \IR² \to \IR², (a,b)^{T} \mapsto (3a+1,4b+a+1)^{T}
[/mm]
5) f: [mm] \IR \to \IR², [/mm] (x) [mm] \mapsto (x,2x)^{T}
[/mm]
6) f: [mm] \IR² \to \IR³, \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{1 0 0 \\ 0 3 0 \\ 2 1 0} \vektor{x_{1} \\ 2x_{1} \\ 0} [/mm]
Welche der Abbildungen sind linear?
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Hallo,
ich weiß jetzt nicht, wie ich allgemein die Aufgabe lösen kann, ich hab mir bis jetzt überlegt, dass Abbildungen linear sind, wenn gilt:
f: V [mm] \to [/mm] W
i) f(x+y) = f(x) + f(y) für alle x,y [mm] \in [/mm] V
ii) f( [mm] \lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] f(x) für alle x [mm] \in [/mm] V und [mm] \lambda \in [/mm] K
weiterhin: f(0) = 0
für 1) hab ich außerdem, dass Abbildungen linear sind, wenn man eine Matrix A [mm] \in K^{m x n} [/mm] findet mit f(x) = Ax für alle x [mm] \in K^n [/mm] (f: [mm] K^n \to K^m)
[/mm]
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
für 4) denke ich, dass es sich um eine Translation um 1 handelt, deshalb keine lineare Abbildung, da
[mm] T_{a}(x) [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 1 & 4 } [/mm] + [mm] \pmat{ 1 \\ 1 }
[/mm]
für 5) glaube ich, dass es eine lineare Abbildung ist, da [mm] \IR [/mm] in [mm] \IR² [/mm] eingebettet wird, bin mir aber wegen der Transponierung nicht sicher und weiß nicht, wie ich das aufschreiben soll
für 6) keine lineare Abbildung, da keine Matrix A [mm] \in K^{m x n} [/mm] ???
würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte bei den anderen Aufgaben und mir sagen könnte, ob die anderen Lösungen richtig sind
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
Ich zeige Dir mal ganz allgemein anhand Aufgabe 1) wie das gehen sollte.
Richtig ist, du muss prüfen ob gilt:
[mm] F(\lambda*v [/mm] + [mm] \mu*w) [/mm] = [mm] \lambda*F(v) [/mm] + [mm] \mu*F(w), \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V.
F(0) = 0, ist nicht nötig, da F(0) = F(0*v) = 0*F(v) = 0, wenn obige Bedingung erfüllt.
Teil 1.
wir brauchen zwei Vektoren und zwei Skalare.
v = [mm] \vektor{v1 \\ v2 \\ v3}, [/mm] w = [mm] \vektor{w1 \\ w2 \\ w3}\in \IR^{3} [/mm] und [mm] \lambda, \mu \in \IR.
[/mm]
[mm] F(\lambda [/mm] v + [mm] \mu [/mm] w) = [mm] \vektor{\lambda v1 + \mu w1 + \lambda v2 + \mu w2 + \lambda v3 + \mu w3 \\ \lambda v2 + \mu w2 + \lambda v3 + \mu w3} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda (v1 + v2 + v3) \\ \lambda (v2 + v3)} [/mm] + [mm] \vektor{\mu (w1 + w2 + w3) \\ \mu (w2 + w3)} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{v1 + v2 + v3 \\ v2 + v3} [/mm] + [mm] \mu \vektor{w1 + w2 + w3 \\ w2 + w3} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] F(v) + [mm] \mu [/mm] F(w)
Da wir unsere Wahl der Vektoren/Skalare nicht eingeschränkt haben, gilt diese Gleichung für alle v,w und [mm] \lambda, \mu [/mm] wie oben.
Genauso geht es bei den anderen auch, evtl. kann man sich das auch sparen, wenn man ein einziges Gegenbeispiel findet.
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