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| Aufgabe | Überprüfen Sie auf Differenzierbarkeit und berechnen Sie ggf. die Ableitung, wo vorhanden:
[mm] f(x)=\begin{cases} x*sinx, & x\not=0 \\ 0, & x=0 \end{cases} [/mm] |
Hallo,
mich irritiert die Aufgabenstellung.
Grundsätzlich gilt ja: Funktion ist differenzierbar, wenn diese stetig ist. Nun, die oben angegebene Funktion hat eine Unstetigkeitsstelle in 0, diese wurde aber behoben. Somit ist sie stetig. Naja, und da x und sinx gegen 0 gehen, wenn man sich von links bzw. rechts annähert, kann man daraus schließen, dass die Stetigkeit gegeben und somit die Funktion differenzierbar ist. Nur ... wie soll ich das jetzt beweisen?
Mich einfach mit zwei Limen (lautet so die Mehrzahl von Limes?) annähern und dann differenzieren? Also ...
[mm] \limes_{x\rightarrow0\pm}\bruch{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}}
[/mm]
Für [mm] \bruch{df(x)}{dx} [/mm] = 1*sinx+x*cosx
Freue mich auf ein paar Ratschläge und Tipps.
Gruß, Brauni
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Hi, [mm] MnO_{2},
[/mm]
> Überprüfen Sie auf Differenzierbarkeit und berechnen Sie
> ggf. die Ableitung, wo vorhanden:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x*sinx, & x\not=0 \\ 0, & x=0 \end{cases}[/mm]
> mich irritiert die Aufgabenstellung.
Mich auch, weil sie mir SO zu einfach erscheint!
x*sin(x) hat bei x=0 KEINE Definitionslücke - wozu also der Aufwand?!
> Grundsätzlich gilt ja: Funktion ist differenzierbar, wenn
> diese stetig ist.
Falsch, falscher falschest!
Dann wäre jede stetige Funktion differenzierbar!
Nur die Umkehrung ist richtig:
Eine Funktion, die an einer Stelle nicht stetig ist, kann dort auch nicht differenzierbar sein!
> Nun, die oben angegebene Funktion hat
> eine Unstetigkeitsstelle in 0, diese wurde aber behoben.
Nochmals: Deine obige Funktion hat KEINE Definitionslücke!
> Somit ist sie stetig. Naja, und da x und sinx gegen 0
> gehen, wenn man sich von links bzw. rechts annähert, kann
> man daraus schließen, dass die Stetigkeit gegeben und somit
> die Funktion differenzierbar ist. Nur ... wie soll ich das
> jetzt beweisen?
Die Differenzierbarkeit beweist man entweder mit Hilfe der Grenzwerte der Ableitungen oder mit Hilfe der Differenzenquotienten. Hier geht auch die erste Methode, denn:
f'(x) = sin(x) + x*cos(x)
> Mich einfach mit zwei Limen (lautet so die Mehrzahl von
> Limes?)
Plural von Limes: Limites
> annähern und dann differenzieren? Also ...
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0\pm}\bruch{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}}[/mm]
> Für [mm]\bruch{df(x)}{dx}[/mm] = 1*sinx+x*cosx
Das ist die Ableitung (aber wieso schreibst Du da x [mm] \to [/mm] 0 ?!).
Und nun lässt Du x von rechts und links gegen 0 gehen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0\pm} [/mm] f'(x) = ?
Gleicher Grenzwert => differenzierbar (was hier der Fall ist!).
mfG!
Zwerglein
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