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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Mo 20.03.2006 | | Autor: | alka |
| Aufgabe |
Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und P [mm] \in [/mm] End(V) ein Projektor ,d.h. es gelte P² = P. Man zeige : V = Ker P [mm] \oplus [/mm] Im P |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lösungsansatz:
V := "Definitionsbereich", W:= "Bildbereich"; P [mm] \in [/mm] End (V) ==> V = W ==> dim V = dim W ==> dim V = dim W = dim Ker P + dim Im P ;dim Im P [mm] \le [/mm] dim W ==> dim Im p <= dim Ker P + dim Im P
Frage:
wie binde ich jetzt die Voraussetzung P² = P ein? wie verhält sich P² = P bzgl. der Dimension?
komm einfach nicht weiter!
danke
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Hallo und einen guten Tag,
mit dem Dimensionsargument kommt man alleine wohl nicht weiter.
Hilfreich wäre es ja, eine Basis des Kerns zu konstruieren und eine Basis des Bildes und dann zu
zeigen, dass die Vereinigung der Basen eine Basis von V bildet
(dass kern [mm] P\cap [/mm] Im [mm] P=\{0\} [/mm] gilt, sollte klar sein, oder ?).
Ansatz 1: Nimm eine beliebige Basis des Kerns, sagen wir [mm] e_1,\ldots [/mm] , [mm] e_k [/mm] und eine beliebige Basis des Bildes, sagen wir
[mm] u_1,\ldots [/mm] , [mm] u_b.
[/mm]
Beh. [mm] e_1,\ldots [/mm] , [mm] e_k [/mm] , [mm] u_1,\ldots [/mm] , [mm] u_b [/mm] ist Basis von V.
Beweis: Zu zeigen:
(a) Span [mm] (e_1,\ldots [/mm] , [mm] e_k [/mm] , [mm] u_1,\ldots [/mm] , [mm] u_b) [/mm] =V
(b) [mm] e_1,\ldots [/mm] , [mm] e_k [/mm] , [mm] u_1,\ldots [/mm] , [mm] u_b [/mm] sind lin. unabh.
Zu (a): Nimm einen bel Vektor [mm] v\in [/mm] V, dann ist entweder [mm] v\in [/mm] Kern P und wir können v linear aus den
[mm] e_1,\ldots [/mm] , [mm] e_k [/mm] kombinieren, oder nicht, und dann ist
P(v) = [mm] \sum_i\lambda_iu_i [/mm] im Bild von P, Behauptung: [mm] v-P(v)\in [/mm] Kern (P). Beweis:
[mm] P(v-P(v))=P(v)-P^2(v) [/mm] = [mm] \ldots [/mm] (ergänze selber an dieser Stelle  )
Damit kann man v-P(v) als LinKombi der [mm] e_j [/mm] darstellen. Und dann zusammenfügen ....
Zu (b): Nimm das gegenteil an und führe zum Widerspruch.
Viel Spass und Erfolg !
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Mo 20.03.2006 | | Autor: | andreas |
hi
kommt man hier nicht mit der dimensionsformel für untervektorräume [mm] $\dim_K [/mm] (U + W) = [mm] \dim_K [/mm] U [mm] +\dim_K [/mm] W - [mm] \dim_K [/mm] (U [mm] \cap [/mm] W)$ und der feststellung [mm] $\ker [/mm] P [mm] \cap \textrm{im} [/mm] P = [mm] \{0\}$, [/mm] also auch [mm] $\dim_K (\ker [/mm] P [mm] \cap \textrm{im} [/mm] P) = 0$ weiter.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:09 Di 21.03.2006 | | Autor: | mathiash |
Moin Andreas,
um es kuz zu sagen: Ja.
Ist wohl etwas kürzer als meine Lsg.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Di 21.03.2006 | | Autor: | alka |
Ja. Mein Ansatz ging ja auch über die Dimensionsformel. Aber die Dim.formel bzgl. Kern und Bild. Könntest du deine Überlegung weiterführen, da ich über meinen Ansatz hinaus nicht weitergekommen bin.
Danke
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Guten Morgen,
Andreas hat ja gezeigt, dass es weiter führt, und er hat ja so wie Du angefangen und dann nur rechtzeitig
aus
[mm] P^2=P
[/mm]
hergeleitet, dass im [mm] P\cap [/mm] ker [mm] P=\{0\} [/mm] gilt und dies benutzt.
Insofern: Streiche bitte gedanklich einfach meine frühere Bemerkung, es würde nicht weiterführen.
Gruss,
Mathias
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