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| Aufgabe | | Für welche [mm] n\in\IN [/mm] erfüllt [mm] PG(\IR^{n+1}) [/mm] das Axiom I5? |
Hallo an Alle,
das Axiom I5 besagt, dass wenn 2 Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mind. einen weiteren Punkt gemeinsam. Für mich ist die Antwort auf die Frage n=2. So sagt es mir jedenfalls meine Vorstellungskraft. Ich kann das aber nicht so recht begründen. Hat da vielleicht jemand ne Idee oder liege ich falsch?
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
> Für welche [mm]n\in\IN[/mm] erfüllt [mm]PG(\IR^{n+1})[/mm] das Axiom I5?
> Hallo an Alle,
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> das Axiom I5 besagt, dass wenn 2 Ebenen einen Punkt
> gemeinsam haben, so haben sie noch mind. einen weiteren
> Punkt gemeinsam. Für mich ist die Antwort auf die Frage
> n=2. So sagt es mir jedenfalls meine Vorstellungskraft. Ich
> kann das aber nicht so recht begründen. Hat da vielleicht
> jemand ne Idee oder liege ich falsch?
Zwei Ebenen $E, E'$ entsprechen zwei dreidimensionalen UVRen $U, U'$ von [mm] $\IR^{n+1}$. [/mm] Da $E [mm] \cap [/mm] E' [mm] \neq \emptyset$ [/mm] ist, ist [mm] $\dim [/mm] (U [mm] \cap [/mm] U') > 0$. Wenn du jetzt die Dimensionsformel [mm] $\dim [/mm] (U + V) = [mm] \dim [/mm] U + [mm] \dim [/mm] V - [mm] \dim [/mm] (U [mm] \cap [/mm] V)$ benutzt, bekommst du $n+1 [mm] \ge \dim(U [/mm] + V) = 3 + 3 - [mm] \dim(U \cap [/mm] V)$, also [mm] $\dim(U \cap [/mm] V) [mm] \ge [/mm] 3 + 3 - (n + 1) = 5 - n$.
Wenn also $5 - n [mm] \ge [/mm] 2$ (also $3 [mm] \le [/mm] n$) ist, dann haben zwei Ebenen $E, E'$ immer mehr als einen Schnittpunkt.
Wenn jetzt $n > 3$ ist, so musst du zeigen, dass es dreidimensionale Untervektorraeume $U, U' [mm] \subseteq \IR^{n+1}$ [/mm] gibt mit [mm] $\dim [/mm] (U [mm] \cap [/mm] V) = 1$.
Sei also $n > 3$ und [mm] $e_0, \dots, e_n$ [/mm] die Standardeinheitsvektoren von [mm] $\IR^{n+1}$. [/mm] Betrachte $U = [mm] \langle e_0, e_1, e_2 \rangle$, [/mm] $V = [mm] \langle e_2, e_3, e_4 \rangle$. [/mm] Dann ist $U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \langle e_2 \rangle$, [/mm] also [mm] $\dim [/mm] (U [mm] \cap [/mm] V) = 1$.
LG Felix
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