Projektion einer Ebene < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:45 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lotl89 |
| Aufgabe | E: y- z = 0
Bestimmen sie den normierten Normalenvektor zur Ebene und geben Sie eine Matrix P an, die die senkrechte Projektion auf die Ebene E beschreibt. Zur Kontrolle: P ist symmetrisch. |
Hallo, habe den Normalenvektor mit [mm] 1/\wurzel{2} [/mm] (0 1 -1) bestimmt. Wie geht ich nun bei der Projektion vor? Habe in meiner FS eine Formel zur orthogonalen Proejktion einer Geraden gefunden, aber nicht für eine Ebene. Soll ich nun einfach den NV projezieren? Gilt diese Matrix A hierfür dann auch für die Ebene?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lotl89 |
Hallo, habe die Formel E - ( [mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{n}^T [/mm] ) / [mm] ll\vec{n}ll^2 [/mm] benutzt und bekomme als Matrix A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & 0,5 & 0,5}[/mm]
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> Hallo, habe die Formel E - ( [mm]\vec{n}[/mm] * [mm]\vec{n}^T[/mm] ) /
> [mm]ll\vec{n}ll^2[/mm] benutzt und bekomme als Matrix A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & 0,5 & 0,5}[/mm]
Hallo Lotl89,
ich hab mir das anhand einer einfachen Skizze
(in der Projektion auf die y-z-Ebene) überlegt
und komme auf die gleiche Matrix.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lotl89 |
Hallo, in der Aufgabe steht weiterhin dass die Matrix symmetrisch ist....sie ist es aber doch nicht?
weiterhin wird verlangt, dass wir den Kern ausrechnen sollen ....dieser müsste doch eig (0 0 0) sein?
und zusätzlich wird verlangt, fixP auszurechnen und darüber auf die Eigenwerte zu schließen?
was ist fix P und wie komme ich auf die Eigenwerte?
Danke für eure Hilfe
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> Hallo, in der Aufgabe steht weiterhin dass die Matrix
> symmetrisch ist....sie ist es aber doch nicht?
natürlich ist sie das ! [mm] A=A^T [/mm] (A symmetrisch bezüglich
ihrer Hauptdiagonalen)
> weiterhin wird verlangt, dass wir den Kern ausrechnen
> sollen ....dieser müsste doch eig (0 0 0) sein?
Das trifft nicht zu. Auf den Nullpunkt werden alle Punkte
projiziert, welche auf der Normalen zur Projektionsebene
liegen, die durch O geht.
> und zusätzlich wird verlangt, fixP auszurechnen und
> darüber auf die Eigenwerte zu schließen?
> was ist fix P und wie komme ich auf die Eigenwerte?
> Danke für eure Hilfe
Mit fixP ist wohl die Menge der Fixpunkte der Abbildung
gemeint. Auch die Antwort auf diese Frage lässt sich
anschaulich sehr leicht ermitteln. Natürlich soll man dann
auch eine algebraische Begründung geben.
Zum Thema Eigenwerte: mach dir die geometrische
Bedeutung von Eigenvektoren und Eigenwerten klar !
Letztere kannst du auch via charakteristisches Polynom
berechnen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lotl89 |
Ist der Kern somit t(0 1 -1) bzw. t(0 -1 1) ?
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> Ist der Kern somit t(0 1 -1) bzw. t(0 -1 1) ?
Du meinst das Richtige.
Wenn wir die Abbildung mit P bezeichnen, ist
$\ ker(P)\ =\ [mm] \{\ t*\pmat{0\\1\\-1}\ | \ t\in\IR\ \}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lotl89 |
Natürlich soll man dann
auch eine algebraische Begründung geben
Wie sieht diese Algebraische Begründung denn aus?
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> Natürlich soll man dann
> auch eine algebraische Begründung geben
>
> Wie sieht diese Algebraische Begründung denn aus?
Betrachte für den Kern die Gleichung $\ [mm] P*\pmat{x\\y\\z}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0\\0\\0}$
[/mm]
für die Fixpunkte die Gleichung $\ [mm] P*\pmat{x\\y\\z}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{x\\y\\z}$
[/mm]
und für die Eigenvektoren die Gleichung $\ [mm] P*\pmat{x\\y\\z}\ [/mm] =\ [mm] \lambda*\pmat{x\\y\\z}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lotl89 |
Ok nochmal zu den Fixpunkten.... also wenn ich P * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{x} [/mm] ausrechne, bekomme ich kein richtiges Ergebnis? dann steht in Zeile 1 x =x
in Zeile 2 0,5y + 0,5z = y und in der 3. Zeile 0,5y + 0,5z = z
was soll ich davon halten?
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> Ok nochmal zu den Fixpunkten.... also wenn ich P * [mm]\vec{x}[/mm]
> = [mm]\vec{x}[/mm] ausrechne, bekomme ich kein richtiges Ergebnis?
> dann steht in Zeile 1 x =x
> in Zeile 2 0,5y + 0,5z = y und in der 3. Zeile
> 0,5y + 0,5z = z
> was soll ich davon halten?
1.) x=x ist doch fein . Da x in den Gleichungen für y und z
gar nicht auftritt, bedeutet dies: der Wert von x darf
beliebig gewählt werden
2.) aus den Gleichungen für y und z folgt einfach, dass
y=z sein muss (und dass diese Bedingung auch schon genügt)
Folgerung: die Fixpunktmenge ist fix(P) $\ =\ [mm] \{\ \pmat{x\\y\\z}\in\IR^3\ :\quad y-z=0\ \}$
[/mm]
Dies ist nichts anderes als die gegebene Ebene E, was ja
auch anschaulich sofort klar ist.
LG Al-Chw.
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