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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Do 17.03.2011 | | Autor: | Zukku |
| Aufgabe | | Man verifiziere die durch eine Skizze leich geometrisch verständlich zu machende Aussage, dass die Länge der Projektion eines Vektors x auf den eindim. Teilraum aller skalarer Vielfachen ("Gerade") eines anderen Vektors y nur vom Winkel zwischen den beiden Vektoren abhängt. Beschreiben Sie die Menge aller derartigen Vektoren y, welche zu festem Vektor x den gleichen Winkel haben. |
Meine Frage: Wie zeige ich das? Die Projektion von x auf y ist, soweit ich weiß das Skalarprodukt von y mit x; multipliziert mit dem Vektor x.
Meine Ideen: Ich habe mir gedacht, dass ich o. B. d. A. annehmen kann, dass x und y normiert sind. Dann ist cos x= Skalarprodukt von x und y.
Somit gibt es einen Zusammenhang, aber wie kann ich die Aussage exakt beweisen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:04 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Zukku |
Würde mich noch gerne für eine Antwort interessieren, kann mir denn keiner helfen? Oder habe ich etwas falsch gemacht?
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Für die geometrische Interpretation kommt es darauf an, in welcher Dimension wir uns bewegen. Die Frage ist auch nicht ganz klar gestellt. Anscheinend soll der Vektor [mm]\vec{x}[/mm] fest gedacht sein. Es sei [mm]\vec{x} \, '[/mm] die Projektion des Vektors [mm]\vec{x}[/mm] auf [mm]\vec{y}[/mm]. Was du über das Skalarprodukt gesagt hast, betrifft nur die Länge von [mm]\vec{x} \, '[/mm]. Für den Vektor selbst gilt
[mm]\vec{x} \, ' = \frac{\vec{x} \vec{y}}{\vec{y}^{\, 2}} \cdot \vec{y}[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Damit keine Verwirrung entsteht: In Zähler und Nenner des Bruches stehen Skalarprodukte, dagegen zwischen dem Bruch und [mm]\vec{y}[/mm] die skalare Multiplikation.
Wenn du nun auf der rechten Seite der Gleichung den Vektor [mm]\vec{y}[/mm] durch [mm]\lambda \, \vec{y}[/mm] mit einem Skalar [mm]\lambda \neq 0[/mm] ersetzt, erhältst du nach den Rechenregeln für ein Skalarprodukt und die skalare Multiplikation
[mm]\frac{\vec{x} \left( \lambda \, \vec{y} \right)}{\left( \lambda \, \vec{y} \right)^2} \cdot \left( \lambda \, \vec{y} \right) = \frac{\lambda \left( \vec{x} \vec{y} \right)}{\lambda^2 \vec{y}^{\, 2}} \cdot \left( \lambda \, \vec{y} \right) = \frac{\vec{x} \vec{y}}{\vec{y}^{\, 2}} \cdot \vec{y} = \vec{x} \, '[/mm]
Es kommt also tatsächlich nicht auf die Länge an. Sogar negative [mm] \lambda [/mm] sind zugelassen. Man müßte also präzisieren und sagen: Auch der Winkel [mm]\varphi[/mm] darf durch [mm]\pi - \varphi[/mm] ersetzt werden.
Erst wenn du diese Zusammenhänge bewiesen hast, kannst du im nachhinein sagen: [mm]\vec{y}[/mm] darf normiert werden. Für den Beweis selbst darf das gerade nicht vorausgesetzt werden.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Zukku |
Möchte mich sehr herzlich bedanken!
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