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| Aufgabe | Berechnen Sie den Wert der folgenden Produkte:
a) [mm] \produkt_{i=1}^{5}i
[/mm]
b) [mm] \produkt_{i=1}^{5}2i^2
[/mm]
c) [mm] \produkt_{i=1}^{20}(1+\bruch{1}{i})
[/mm]
d) [mm] \produkt_{i=-2}^{3}(2i-1) [/mm] |
Hallo, zu diesen Aufgaben habe ich die Lösungen.
Mir geht es um den Lösungsweg.
a) Habe ich einfach mit 5n! gelöst
b) Habe ich mit [mm] (5n!)^2*2^5 [/mm] gelöst
c) Durch Ausprobieren bin ich auf [mm] \bruch{1}{i}=\bruch{1}{20} [/mm] gekommen
d) Habe ich erst mal den Index verschoben, war nichts, habe ich dann einzeln ausgerechnet
Meine Frage lautet: Kann ich die Formeln für i und [mm] i^2 [/mm] nicht genauso wie beim Summenzeichen anwenden? Wenn ja ( was doch bestimmt so ist), was sollte ich beachten?
Vielen Dank für Eure Hilfe im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Okay, also es gibt keine "Abkürzung", muss ich immer alles manuell ausrechnen?
Und vielen Dank für Deine schnelle Antwort, sehr nett von Dir.
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Hallo nochmal,
> Okay, also es gibt keine "Abkürzung", muss ich immer alles
> manuell ausrechnen?
Als Grundregel ist das immer eine gute Idee.
Aber natürlich gibt es immer wieder einmal Abkürzungen, nur eben ausnehmend wenig Formeln wie die Dir schon bekannten Summenformeln (von denen es übrigens ziemlich viele gibt).
Bei Produkten wirst Du oft herausgefordert sein, selbst einen Weg zu finden, wie z.B. bei dem "Teleskopprodukt" aus Deinen Aufgaben.
Versuch doch dieses hier einmal:
[mm] \produkt_{k=1}^{n}\left(\bruch{(2n+2k-1)}{(2n-2k+1)}*\bruch{(2n+2k)}{(2n-2k+2)}\right)
[/mm]
Die Lösung zu finden ist nicht wirklich schwer, aber es hilft erheblich, wenn Du das Produkt mal für n=2 und n=3 ausschreibst, vielleicht sogar noch für ein größeres n. Dann siehst Du, was sich möglicherweise zusammenfassen lässt.
In diesem Fall hilft Kürzen u.U. wenig, aber die Fakultätsschreibweise (eine besondere Abkürzung für Produkte) könnte nützlich sein.
> Und vielen Dank für Deine schnelle Antwort, sehr nett von
> Dir.
Na, ich bin ja gerade noch wach... Hoffe ich. 
Grüße
reverend
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Danke für die ausführliche Erläuterung. Ich habe mal das Beispiel von Dir mit n=2 und n=3 ausgerechnet und habe 70 und 847 rausbekommen. Aber wie lautet denn die ursprüngliche Operation? Aber hier habe ich auch jedes k einzeln ausgerechnet und am Ende das Endprodukt gebildet.
Das war bestimmt auch nicht Sinn der Sache?!
Nun zum Transfer, ich will ja das Teleskopprodukt [mm] \produkt_{i=1}^{20}(1+\bruch{1}{i}) [/mm] auf die von Dir erklärte Weise lösen.
Sähe das so aus: [mm] \produkt_{i=1}^{20}(1+\bruch{1}{i})
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{i=1}^{20}(\bruch{1+i}{i})
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{i=1}^{20}((i+1)\bruch{1}{i})
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{i=1}^{20}(i+1) [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{20}(\bruch{1}{i})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] jetzt weiss ich nicht mehr weiter
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Hallo nochmal,
> Danke für die ausführliche Erläuterung. Ich habe mal das
> Beispiel von Dir mit n=2 und n=3 ausgerechnet und habe 70
> und 847 rausbekommen. Aber wie lautet denn die
> ursprüngliche Operation? Aber hier habe ich auch jedes k
> einzeln ausgerechnet und am Ende das Endprodukt gebildet.
>
> Das war bestimmt auch nicht Sinn der Sache?!
Nein. Lassen wir das mal für morgen - erst mal Deine Aufgaben.
> Nun zum Transfer, ich will ja das Teleskopprodukt
> [mm]\produkt_{i=1}^{20}(1+\bruch{1}{i})[/mm] auf die von Dir
> erklärte Weise lösen.
>
> Sähe das so aus: [mm]\produkt_{i=1}^{20}(1+\bruch{1}{i})[/mm]
>
> [mm]\gdw \produkt_{i=1}^{20}(\bruch{1+i}{i})[/mm]
Ja! Hier ein Zwischenstopp, denn alles, was Du danach versuchst, führt Dich wieder weiter weg.
Wenn ich das ausschreibe, dann steht da:
[mm] \produkt_{i=1}^{20}\left(\bruch{1+i}{i}\right)=\bruch{2}{1}*\bruch{3}{2}*\bruch{4}{3}*\bruch{5}{4}*\bruch{6}{5}*\bruch{7}{6}*\bruch{8}{7}*\cdots*\bruch{20}{19}*\bruch{21}{20}
[/mm]
...und das lässt sich doch prima kürzen und zusammenfassen.
Ich komme auf 21.
> [mm]\gdw \produkt_{i=1}^{20}((i+1)\bruch{1}{i})[/mm]
>
> [mm]\gdw \produkt_{i=1}^{20}(i+1)[/mm] * [mm]\produkt_{i=1}^{20}(\bruch{1}{i})[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] jetzt weiss ich nicht mehr weiter
Na, das ginge auch noch.
Da bekommt man [mm] \bruch{21!}{1!}*\bruch{1}{20!}= [/mm] ?
Grüße
reverend
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Oh Mann, danke.
Fakultäten sind ja doch am besten. Im Zweifelsfalle laufe ich halt alle i einmal durch.
Danke für Deine reichlichen Mühen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Do 20.10.2011 | | Autor: | reverend |
Guten Tag,
Es ging noch um die Vereinfachung dieses Produkts:
[mm] \produkt_{k=1}^{n}\left(\bruch{(2n+2k-1)}{(2n-2k+1)}\cdot{}\bruch{(2n+2k)}{(2n-2k+2)}\right)
[/mm]
> Ich habe mal das
> Beispiel von Dir mit n=2 und n=3 ausgerechnet und habe 70
> und 847 rausbekommen. Aber wie lautet denn die
> ursprüngliche Operation? Aber hier habe ich auch jedes k
> einzeln ausgerechnet und am Ende das Endprodukt gebildet.
>
> Das war bestimmt auch nicht Sinn der Sache?!
Nein, natürlich nicht. Für n=2 ergibt sich 70 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , für n=3 allerdings 924, für n=4 dann 12870, und z.B. für n=9 dann 9075135300.
Das will man doch aber gar nicht mehr zu Fuß ausrechnen.
Hier hilft es, sich Zähler und Nenner getrennt anzuschauen und gar nicht erst zu versuchen, etwas zu kürzen.
Zähler: wenn k von 1 bis n läuft, werden hier die Faktoren (2n+1) bis 4n der Reihe nach durchlaufen.
Nenner: besser zu sehen ist es, wenn man die beiden Nenner vertauscht, was wegen der Kommutativität der Multiplikation ja kein Problem ist. Dann stellt man fest, dass für k von 1 bis n hier die Faktoren 2n bis 1 "rückwärts" durchlaufen werden.
Deswegen gilt:
[mm] \produkt_{k=1}^{n}\left(\bruch{(2n+2k-1)}{(2n-2k+1)}\cdot{}\bruch{(2n+2k)}{(2n-2k+2)}\right)=\bruch{\produkt_{m=1}^{\blue{2n}}(2n+m)}{\produkt_{m=1}^{\blue{2n}}(2n+1-m)}=\cdots
[/mm]
Das sieht immer noch nicht handhabbar aus, obwohl es schon eine Vereinfachung ist.
Ich drehe mal den Index um durch j=2n+1-m:
[mm] \cdots=\bruch{\produkt_{j=1}^{2n}(4n+1-j)}{\produkt_{j=1}^{2n}j}
[/mm]
Das sieht schon vertrauter aus. Im Nenner steht also (2n)!
Im Zähler sind die 2n Faktoren von (2n+1) bis 4n, und das kann man leichter schreiben als [mm] \tfrac{(4n)!}{(2n)!}. [/mm] Insgesamt zeigt sich also:
[mm] \produkt_{k=1}^{n}\left(\bruch{(2n+2k-1)}{(2n-2k+1)}\cdot{}\bruch{(2n+2k)}{(2n-2k+2)}\right)=\bruch{(4n)!}{(2n)!}*\bruch{1}{(2n)!}=\vektor{4n\\2n}
[/mm]
So ist aus dem ganzen Getöse nur ein Binomialkoeffizient geworden...
Grüße
reverend
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
. Was für ein n?
