Produkttopologie induziert von < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Di 28.05.2013 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | Die Produkttopologie ist induiziert von Maximumnorm? |
Kann mir evt. jemand kurz begründen warum die Produkttopologie von der Maximumnorm induziert werden kann? Also [mm] \parallel x\parallel_{prod}=\{\max |x_k| 1\le k\le n\}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Di 28.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Die Produkttopologie ist induiziert von Maximumnorm?
> Kann mir evt. jemand kurz begründen warum die
> Produkttopologie von der Maximumnorm induziert werden kann?
> Also [mm]\parallel x\parallel_{prod}=\{\max |x_k| 1\le k\le n\}[/mm]
Die Produkttopologie auf [mm] I\R^n [/mm] ist die gewöhnliche euklidische Topologie,
d.h.: die Produkttopologie wird von der euklidischen Norm erzeugt.
Nun sind alle Normen auf dem [mm] \IR^n [/mm] untereinander äquivalent. Ist dann ||*|| irgendeine Norm auf [mm] \IR^n, [/mm] so erzeugt ||*|| die gleiche Topologie, wie die euklidische Norm.
Fazit: jede Norm auf dem [mm] \IR^n [/mm] erzeugt die Produkttopologie.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:29 Di 28.05.2013 | | Autor: | kalifat |
Richtig, ich habe aber überlegt, ob man dieses Resultat (also Produkttopologie auf [mm] R^n [/mm] ist ident mit euklidischen Topologie) nicht über die Norm zeigen kann.
Das die Maximumsnorm und die euklidische Norm äquivalent sind ist klar, aber ich sehe nicht ganz warum ich auf der Produkttopologie die Maximumsnorm festlegen kann, dazu muss man ja eig. zeigen das die Topologie offene Bälle bezüglich dieser Norm hat (als Basis), das bekomme ich nicht hin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 30.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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