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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] d_{\infty}:=\max\limits_{i=1,\cdots,n}{|x_{i}-y_{i}|} [/mm] auf [mm] \mathbb{R}^n [/mm] (für [mm] x=(x_{1},\cdots,x_{n})) [/mm] die Produkttopologie erzeugt. |
Guten Abend,
der Begriff "eine Metrik erzeugt eine Topologie" ist in unserer Vorlesung nicht vorgekommen. Ich nehme mal an, damit ist gemeint, dass die durch diese Metrik kreierten Kugeln eine Basis für die Produkttopologie bilden?
Heißt das dann, dass ich zeigen muss, dass wenn eine Menge offen bzgl. der Produkttopologie ist, also alle "Komponenten" offen sind, dass sie sich dann als Vereinigung dieser Kugeln darstellen lässt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Fr 23.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist (X,d) ein metr. Raum, so heist eine Teilmenge A von X offen, wenn es zu jedem x [mm] \in [/mm] A ein r=r(x)>0 gibt mit
[mm] \{z \in X: d(x,z)
Zeigen sollst Du: ist A eine Teilmenge von [mm] \IR^n, [/mm] so gilt:
A ist eine bezügl. der Produktopologie offene Menge [mm] \gdw [/mm] A ist offen im metrischen Raum [mm] (\IR^n, d_{\infty})
[/mm]
FRED
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Gut. Und "A ist bzgl. der Produkttopologie eine offene Menge" heißt "A ist von der Form [mm] O_{1}\times [/mm] ... [mm] \times O_{n} [/mm] mit [mm] O_{1},\cdots,O_{n} [/mm] offen"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Fr 23.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Gut. Und "A ist bzgl. der Produkttopologie eine offene
> Menge" heißt "A ist von der Form [mm]O_{1}\times[/mm] ... [mm]\times O_{n}[/mm]
> mit [mm]O_{1},\cdots,O_{n}[/mm] offen"?
Nein. Es heißt nur, dass A Vereinigung von Mengen der Form [mm] $O_{1}\times\ldots\times O_{n}$ [/mm] mit [mm] $O_{1},\ldots,O_{n}\subseteq\IR$ [/mm] offen ist.
Viele Grüße
Tobias
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