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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Diary |
Hallo zusammen,
Sei [mm] (X_i)_{i\in J} [/mm] eine Familie topologischer Räume. Auf dem kartesischen Produkt [mm] \produkt_{i\in I}X_i [/mm] ist die Produkttopologie als diejengie Topologie definiert, welche von
B:={ [mm] \produkt_{i\inI}U_i [/mm] | [mm] U_i [/mm] offen in [mm] X_i [/mm] und [mm] U_i [/mm] = [mm] X_i [/mm] für fast alle i [mm] \in [/mm] I}
erzeugt wird.
Das heißt, sie sieht so aus:
{ [mm] \produkt_{i\inI}U_i [/mm] | [mm] \produkt_{i\inI}U_i=\bigcup_{j\in J} U_j [/mm] , [mm] U_j \in [/mm] A, J Indexmenge } =: T
wobei
A:={ [mm] \produkt_{i\inI}U_i [/mm] | [mm] \produkt_{i\inI}U_i=\bigcap_{j=1}^{n} U_j [/mm] , [mm] U_j \in [/mm] B}
Kann man die Produkttopologie auch gleich als die oben definierte Menge B angeben? Welche Mengen können denn in A und in T hinzukommen?
Liebe Grüße,
Diary
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> Sei [mm](X_i)_{i\in J}[/mm] eine Familie topologischer Räume. Auf
> dem kartesischen Produkt [mm]\produkt_{i\in I}X_i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist die
> Produkttopologie als diejengie Topologie definiert, welche
> von
>
> B:={ [mm]\produkt_{i\inI}U_i[/mm] | [mm]U_i[/mm] offen in [mm]X_i[/mm] und [mm]U_i[/mm] = [mm]X_i[/mm]
> für fast alle i [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
I}
>
> erzeugt wird.
>
> Das heißt, sie sieht so aus:
>
> { [mm]\produkt_{i\inI}U_i[/mm] | [mm]\produkt_{i\inI}U_i=\bigcup_{j\in J} U_j[/mm]
> , [mm]U_j \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A, J Indexmenge } =: T
> wobei
> A:={ [mm]\produkt_{i\inI}U_i[/mm] |
> [mm]\produkt_{i\inI}U_i=\bigcap_{j=1}^{n} U_j[/mm] , [mm]U_j \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B}
>
> Kann man die Produkttopologie auch gleich als die oben
> definierte Menge B angeben?
Nein. B ist nur eine Basis der Produkttopologie
> Welche Mengen können denn in A und in T hinzukommen?
Schau Dir das an: http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Topologie)
FRED
>
> Liebe Grüße,
> Diary
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Diary |
Hallo FRED,
ich frage mal anders: Welche Mengen sind denn in A oder in T, welche nicht in B sind? Also mir geht es hier nur um die Mengen B, A, T als solche, nicht um Basen. Falls das in deiner Antwort mit drinsteckt, konnte ich es nicht rauslesen!
Diary
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
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> ich frage mal anders: Welche Mengen sind denn in A oder in
> T, welche nicht in B sind? Also mir geht es hier nur um die
> Mengen B, A, T als solche, nicht um Basen. Falls das in
> deiner Antwort mit drinsteckt, konnte ich es nicht
> rauslesen!
Ich weiß gar nicht wo ich anfangen soll.
Deine Notationen für T und A sind fürchterlich und falsch.
Es gilt (siehe obiger Link):
Ein System B von Teilmengen eines topologischen Raumes X heißt Basis der Topologie, wenn
1. jede Menge aus B offen ist und
2. jede offene Menge des Raumes sich als Vereinigung von Mengen aus B darstellen lässt.
D.h. Dein System B ist Basis der Topologie T
FRED
>
> Diary
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:15 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Diary |
Hallo FRED,
ich weiß jetzt ebenfalls nicht, wo ich anfangen soll. Deshalb schreibe ich Dir nochmal alles ganz genau auf.
Zum Begriff der erzeugten Topologie:
Sei X eine Menge. Und B eine Teilmenge der Potenzmenge von X.
Zunächst vergrößert man B zu einem System B', indem man die spezielle Teilmenge X hinzunimmmt, sowieso alle endlichen Durchschnitte von Teilmengen von X, die zu B gehören.
B'={U [mm] \subset [/mm] X | [mm] U=\bigcap_{i=1}^{n}U_i [/mm] , [mm] U_i \in [/mm] B} [mm] \cup [/mm] {X}
Sodann bezeichnet man eine Menge U [mm] \subset [/mm] X als offen, wenn sie beliebige Vereinigung von Mengen aus B' ist.
Die erzeugte Topologie T sieht also so aus:
T={U [mm] \subset [/mm] X | [mm] U=\bigcup_{i \in I}U_i \in [/mm] B', I beliebige Indexmenge}
[Quelle: Bosch, Algebra]
Das man hier beim Übergang von B zu B' und dann nochmal von B' zu T in der Regel Mengen hinzubekommt, ist klar.
Meine Frage bezog sich aber jetzt speziell auf die Produkttopolgie. In meiner Frage Ist A=B'.
Vielleicht hältst Du meine Notationen von T und A für 'füchterlich und falsch', weil Du [mm] U_j \in [/mm] A bzw. [mm] U_j \in [/mm] B nicht gelesen hast? Diese [mm] U_j [/mm] sollen natürlich auch ein Produkt sein, was ich mit dem [mm] \in [/mm] A bzw. [mm] \in [/mm] B deutlich machen wollte. Ich hatte nämlich etwas Probleme, mit dem richtigen Hinschreiben in latex, wie Du vielleicht selbst an den ganzen roten Stellen siehst.
Ich denke schon, dass ich das so schreiben darf. Falls nicht, dann tut mir das Leid, es war nicht meine Absicht. Nur hilfst du mir nicht, wenn du sie lediglich als 'füchterlich und falsch' bezeichnest.
Vielleicht ist es besser, wenn ich anhand eines Beispiels frage:
Ich betrachte [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR. [/mm] Auf [mm] \IR [/mm] nehme ich jeweils die Topologie, die von den offenen Kugeln erzeugt wird (also eine Menge U ist offen, falls es für jedes x in U eine ganze epsilon-Kugel um x gibt, welche noch ganz in U ist). (Falls man das nicht so sagt, sorry! Ich hoffe es ist klar, was gemeint ist!)
Nun heißt es (in "Bosch, Algebra)
Die Produkttopologie ist diejenige Topologie, welche von
B:={ [mm] U_1 [/mm] x [mm] U_2 [/mm] | [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] offen in [mm] \IR [/mm] }
erzeugt wird.
Jetzt gehe ich vor, wie Herr Bosch das in seinem Buch beschreibt.
Ich gehe von B zu B' über.
Dabei gewinne ich keine neuen Mengen, den [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] ist schon in B, da [mm] \IR [/mm] offen und jeder endliche Durschnitt von Mengen in B ist auch wieder in B, da endliche Durschnitte offener Mengen wieder offen sind. (Für [mm] U_1 [/mm] x [mm] U_2 [/mm] in B und [mm] V_1 [/mm] x [mm] V_2 [/mm] in B ist [mm] (U_1 [/mm] x [mm] U_2) \cap (V_1 [/mm] x [mm] V_2) [/mm] = [mm] U_1 \cap V_1 [/mm] x [mm] U_2 \cap V_2 [/mm] wieder in B. Mit Induktion dann für endlich viele Schnitte).
Jetzt bezeichne ich eine Menge U [mm] \subset \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] als offen, wenn sie beliebige Vereinigung von Mengen in B' ist. Die belieibige Vereinigung von Mengen in B' ist aber doch wieder in B'. So kann ich (nur von Mengen ausgehend) sagen, dass meine erzeugte Topologie gleich B' also auch gleich B ist.
edit:
Im letzten Absatz steckt mein Denkfehler. Es gilt natürlich nicht
( [mm] U_1 [/mm] x [mm] U_2 [/mm] ) [mm] \cup [/mm] ( [mm] V_1 [/mm] x [mm] V_2 [/mm] ) = [mm] U_1 \cup V_1 [/mm] x [mm] U_2 \cup V_2
[/mm]
wovon ich aber komischerweise ausgegangen bin.
Also gilt nur B=B' aber nicht T=B'.
Zum Glück war also nichts gar so fürchterlich und gar so falsch, sondern nur ein kleines Horperlein das Problem.
Viele Grüße,
Diary
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 23.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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