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| Aufgabe | Beweisen Sie die Produktregel für die Ableitung von Kreuzprodukten
[mm]
\bruch{d}{dt}(a \times b) = \bruch{da}{dt} \times b = a \times \bruch{db}{dt}
[/mm]
ohne Benutzung der Koordinatendarstellungen von a und b |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wäre nett wenn jemand die Muße hat kurz über meinen Weg/Ansatz drüber zu schauen und mir zu sagen, ob das so passt. Danke.
Ich bin ausgegangen von der Definition:
[mm]
(a \times b) = \left( \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right| * \sin \alpha \right) * \vec n
[/mm]
[mm]
(a \times b)' = \left( \left( \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right| * \sin \alpha \right) * \vec n \right) '
[/mm]
Da [mm] \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right| [/mm] ja nun Skalare sind, und [mm] \sin \alpha [/mm] sowie [mm] \vec n [/mm] konstante "Faktoren" sind, kann ich das ganze doch reduzieren zu:
[mm]
(a \times b)' = \left( \sin \alpha \right) * \vec n \left( \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right| \right) ' = \left( \sin \alpha \right) * \vec n \left( \left| \vec a \right|' * \left| \vec b \right| + \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right|' \right)
[/mm]
oder irre ich mich da?
Das wäre dann ja:
[mm]
(a \times b)' = \left( \sin \alpha \right) * \vec n \left( \left| \vec a \right|' * \left| \vec b \right| + \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right|' \right) = \left( \left| \vec a \right|' * \left| \vec b \right| * \sin \alpha \right) * \vec n + \left( \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right|' * \sin \alpha \right) * \vec n[/mm]
[mm]
(a \times b)' = \vec a ' \times \vec b + \vec a \times \vec b '
qed
[/mm]
Stimmt das so? Danke für eure Hilfe! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Do 22.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Ich bin zwar kein Physiker und habe auch keinen Alternativ-Vorschlag, aber weder [mm] $|\vec{a}|,|\vec{b}|,\sin\alpha$ [/mm] noch [mm] $\vec{n}$ [/mm] sind konstant in Bezug auf t. Wenn [mm] $\vec{a}$ [/mm] oder [mm] $\vec{b}$ [/mm] sich ändern, dann auch deren Längen, deren Winkel sowie der Einheitsnormalenvektor...
Gruß, Robert
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Hmmm...aber wo ändert sich der Winkel denn [mm] \sin \alpha [/mm] denn? Da blick ich jetzt nicht durch. *smile* Und der Normaleneinheitsvektor [mm] \vec n [/mm] sollte sich ja auch net ändern.
Ich war mit eher unschlüssig, ob ich mit den Beträgen so arbeiten darf.
Oder jemand einen komplett anderen Ansatz parat?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Do 22.10.2009 | | Autor: | weduwe |
> Hmmm...aber wo ändert sich der Winkel denn [mm]\sin \alpha[/mm]
> denn? Da blick ich jetzt nicht durch. *smile* Und der
> Normaleneinheitsvektor [mm]\vec n[/mm] sollte sich ja auch net
> ändern.
>
> Ich war mit eher unschlüssig, ob ich mit den Beträgen so
> arbeiten darf.
>
> Oder jemand einen komplett anderen Ansatz parat?
na klar ändern sich alle diese größen mit t, wenn die beiden vektoren von t abhängen 
ich würde es mit grenzwertbildung versuchen:
[mm] \frac{d}{dt}(\vec{a}\times\vec{b})=lim_{\Delta t\to 0}\frac{(\vec{a}+\Delta\vec{a})\times(\vec{b}+\Delta\vec{b})-\vec{a}\times\vec{b}}{\Delta t}=...
[/mm]
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> Beweisen Sie die Produktregel für die Ableitung von
> Kreuzprodukten
>
> [mm]
\bruch{d}{dt}(a \times b) = \bruch{da}{dt} \times b\ \red{=}\ a \times \bruch{db}{dt}
[/mm]
Da muss natürlich ein Pluszeichen stehen.
> ohne Benutzung der Koordinatendarstellungen von a und b
Hallo artischocke,
am einfachsten wäre wohl wirklich ein Beweis mit
der Koordinatendarstellung. Wenn dies nun aber
nicht zugelassen sein soll, denke ich an einen Beweis
über den Weg von Differenzenquotienten und unter
Benützung der Linearitätseigenschaften des Vektor-
produktes.
Setzen wir also
[mm] $\Delta{a}:=a(t+\Delta{t})-a(t)$
[/mm]
[mm] $\Delta{b}:=b(t+\Delta{t})-b(t)$
[/mm]
$\ [mm] v(t):=a(t)\times [/mm] b(t)$
[mm] $\Delta{v}:=v(t+\Delta{t})-v(t)$
[/mm]
Wenn man nun [mm] \Delta{v} [/mm] sorgfältig durch a(t),b(t),
[mm] \Delta{a} [/mm] und [mm] \Delta{b} [/mm] ausdrückt und dann den Differenzen-
quotienten
[mm] $\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}
[/mm]
betrachtet und für [mm] t\to{0} [/mm] untersucht, sollte man
zum gewünschten Nachweis kommen.
LG Al-Chw.
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