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| Aufgabe | [mm] n\in\mathbb{N} [/mm] und [mm] (X_{k},d_{k}),k=1...n, [/mm] metrische Räume. Für [mm] x\in [/mm] X ist [mm] x=(x_{1},...,x_{n}),x_{k}\in X_{k}.
[/mm]
(a) Ich soll zeigen, dass folgende Definition eine Metrik auf X ist:
[mm] d^{(n)}(x,y):=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}\frac{1}{2^{k}}\frac{d_{k}(x_{k},y_{k})}{1+d_{k}(x_{k},y_{k})},\, x_{k},y_{k}\in X_{k}.
[/mm]
(b) Gilt dies auch für [mm] n=\infty [/mm] ? |
Hallo,
d(x,y)=0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x=y und Symmetrie habe ich bereits gezeigt. Hapern tut es lediglich bei der Dreiecksungleichung. Damit komme ich nicht weiter.
Zu (b) habe ich mir bisher nur gedacht, dass das vermutlich nicht gilt, weiß aber auch nicht, wie ich es beweisen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Mi 06.05.2009 | | Autor: | pelzig |
a) Der Punkt ist, dass wenn du eine Metrik [mm] $d:X^2\to\IR$ [/mm] und eine monotone konkave Funtion [mm] $f:[0,\infty)\to\IR$ [/mm] hast mit $f(0)=0$, dann ist [mm] $f\circ [/mm] d$ wieder eine Metrik. In dieser Aufgabe hat [mm] $f(x)=\frac{x}{1+x}$ [/mm] genau diese Eigenschaften. Damit ist [mm] $d^{(n)}(x,y)=\sum_{k=1}^n 2^{-k}\cdot(f\circ d_k)(x_k,y_k)$ [/mm] - also eine Linearkombination von Metriken und damit eine Metrik.
b) Alles was hier zu zeigen ist, dass die Reihe konvergiert. Es gilt aber [mm] $f\circ [/mm] d<1$ für jede Metrik d, also wird [mm] $d^{(\infty)}$ [/mm] majorisiert durch [mm] $\sum_{k\ge 1}2^{-k}<\infty$. [/mm] Die Metrikeigenschaften von [mm] $d^{\infty}$ [/mm] gelten für jede Partialsumme (das ist Aufgabe a)) und gehen durch den Grenzübergang nicht kaputt....
Gruß, Robert
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> b) Alles was hier zu zeigen ist, dass die Reihe
> konvergiert. Es gilt aber [mm]f\circ d<1[/mm] für jede Metrik d,
> also wird [mm]d^{(\infty)}[/mm] majorisiert durch [mm]\sum_{k\ge 1}2^{-k}<\infty[/mm].
> Die Metrikeigenschaften von [mm]d^{\infty}[/mm] gelten für jede
> Partialsumme (das ist Aufgabe a)) und gehen durch den
> Grenzübergang nicht kaputt....
>
> Gruß, Robert
Dann gilt es also für [mm] n=\infty [/mm] auch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Mi 06.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Dann gilt es also für [mm]n=\infty[/mm] auch?
Ja.
SEcki
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