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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Do 03.02.2005 | | Autor: | Zizou |
Hallo Leute habe folgende Aufgabe weiss aber nicht einmal den Ansatz ( Gauß-Algorithmus kann ich anwenden) wäre nett wenn jemand behilflich sein könnte.
Die Produktionsmatrix P:= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 &1 \\ 1 & \alpha & 2 }
[/mm]
enthält [mm] \alpha \inR [/mm] als Parameter. Für welche(n) Parameterwert(e) ist die Frage nach dem Erzeugnisvektor E bei gegebem Rohstoffvektor R
(i) eindeutig lösbar
(ii) unlösbar?
Verwenden Sie den Gauß-Algorithmus und geben Sie für (i) die Lösung explizit an!
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 03.02.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo Leute habe folgende Aufgabe weiss aber nicht einmal
> den Ansatz ( Gauß-Algorithmus kann ich anwenden) wäre nett
> wenn jemand behilflich sein könnte.
>
> Die Produktionsmatrix P:= [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 &1 \\ 1 & \alpha & 2 }
[/mm]
>
> enthält [mm]\alpha \inR[/mm] als Parameter. Für welche(n)
> Parameterwert(e) ist die Frage nach dem Erzeugnisvektor E
> bei gegebem Rohstoffvektor R
>
> (i) eindeutig lösbar
> (ii) unlösbar?
>
> Verwenden Sie den Gauß-Algorithmus und geben Sie für (i)
> die Lösung explizit an!
Um die Frage der Lösbarkeit von dem Problem der Form $E = P*R$ zu lösen, bestimmt man den Rang der Matrix P. Dies ist gemeint, wenn das Stichwort Gauss-Jordan-Verfahren fällt.
Falls du nicht mehr weisst, wie das genau ging, hier nochmal eine kurze Beschreibung des Verfahrens:
(1) Matrix (P|E), [also die Matrix P mit rangeschriebenem Vektor E] auf Zeilenstufenform bringen.
(2) Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen ist der Rang der Matrix
--> Das System ist unlösbar, wenn der Vektor E "länger" ist, als die Matrix P in Zeilenstufenform. Matematisch gesagt: Wenn der rang P < rang (P|E) ist, so ist das Gleichungssystem nicht lösbar.
--> Ist Vektor E genauso lang, wie P Nicht-Nullzeilen besitzt (mathematisch: ist rang P = rang (P|E) ), so ist das gleichungssystem lösbar.
--> Hat P und damit auch (P|E) keine Nullzeilen, so ist der Rang voll und das System wird eindeutig lösbar.
Was ist also noch zu tun? Wir müssen noch feststellen, wie sich das [mm] $\alpha$ [/mm] auf die Anzahl der Nullzeilen auswirkt. Den Schritt überlasse ich dir erstmal, ich wollte dir nur erstmal ein paar Hinweise geben, was du zeigen musst.
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:12 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Zizou |
Zuerst einmal Danke für deine Erläuterungen muss aber zu meinem ungunsten sagen dass ich Mathematisch nicht sehr wissend bin, könntest du mir vielleicht Schritt für Schritt erklären was man genau machen muss , also so wie ich das verstanden habe von deinen Erläuterungen:
[mm] \vmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 &1 \\ 1 & \alpha & 2 }
[/mm]
nun wende ich Gauß Verfahren an und bekomme, die einzelnen Rechenschritte habe ich nun ausgelassen
[mm] \vmat{ 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 &3 \\ 0 & 0 & -3-\alpha }
[/mm]
Aber was muss ich nun tun, wäre nett wenn du mir auch eine Lösung schreiben würdest und ein wenig dazu erklären das wäre Super, Danke
Zizou
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Zuerst einmal Danke für deine Erläuterungen muss aber zu
> meinem ungunsten sagen dass ich Mathematisch nicht sehr
> wissend bin, könntest du mir vielleicht Schritt für Schritt
> erklären was man genau machen muss , also so wie ich das
> verstanden habe von deinen Erläuterungen:
>
> [mm]\vmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 &1 \\ 1 & \alpha & 2 }
[/mm]
>
>
> nun wende ich Gauß Verfahren an und bekomme, die einzelnen
> Rechenschritte habe ich nun ausgelassen
>
>
> [mm]\vmat{ 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 &3 \\ 0 & 0 & -3-\alpha }
[/mm]
>
>
> Aber was muss ich nun tun, wäre nett wenn du mir auch eine
> Lösung schreiben würdest und ein wenig dazu erklären das
> wäre Super, Danke
> Zizou
>
Vorausgesetzt die Matrixumformung stimmt, dann musst du dir jetzt überlegen, für welches Alpha wird die letzte Zeile eine Nullzeile? Richtig, bei Alpha = -3. Und das ist auch schon die Antwort. Bei Alpha = -3 ist das System nicht lösbar, vorausgesetzt, dein Ergebnisvektor E hat 3 Komponenten. Für jedes andere Alpha ist es zumindest lösbar.
Das ganze System ist lösbar, wenn die Matrix so viele Nichtnullzeilen hat wie der Ergebnissvektor (Achtung: den musstest du bei den Umformungen der Zeilen mit umformen!!!) und eindeutig lösbar, wenn es keine Nichtnullzeile gibt...
Schreib dir den Ergebnisvektor mal mit ran und forme das um... Wenn keine Vorgegeben ist, verwende [mm] $e_1, e_2 [/mm] $ und [mm] $e_3$.
[/mm]
Dann siehst du es hoffentlich.
Gruß Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 So 06.02.2005 | | Autor: | Zizou |
Hallo Hathorman habe mich nochmals an die Aufgabe gesetzt aber bin nicht ganz so schlau aus deinen Erläuterungen geworden, heisst das nun für die lösungen der Aufgabe die lautete:Für welche(n) Parameterwert(e) ist die Frage nach dem Erzeugnisvektor E bei gegebem Rohstoffvektor R
(i) eindeutig lösbar
(ii) unlösbar?
Verwenden Sie den Gauß-Algorithmus und geben Sie für (i) die Lösung explizit an!
zu (ii)= [mm] \alpha= [/mm] -3 und was muss ich zu (i) schreiben wäre sehr erfreut wenn du mir eine Lösung schreiben würdest, dass würde mir sehr helfen.
Habe auch eine weitere Aufgabe, die scheint so ähnlich wird Sie genauso gelöst oder kannst oder willst du mir etwas dazu sagen:
Die Produktionsmatrix P:= $ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 &1 \\ 1 & \alpha & 2 } [/mm] $ enthält [mm] \alpha \in [/mm] R als Parameter. Für welche(n) Parameterwert(e) ist die Frage nach dem Erzeugnisvektor [mm] \overrightarrow{E} [/mm] in der Geleichung P* [mm] \overrightarrow{E} [/mm] = [mm] \overrightarrow{R}
[/mm]
(i) mehrdeutig lösbar,
(ii) unlösbar
falls wir als Rohstoffvektor [mm] \overrightarrow{R} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1 } [/mm] zugrunde legen?
Verwenden Sie den Gauß-Algorithmus und geben Sie für (i) die Lösung explizit an!
Würde mich sehr über eine schnelle Antwort freuen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:27 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo Hathorman habe mich nochmals an die Aufgabe gesetzt
> aber bin nicht ganz so schlau aus deinen Erläuterungen
> geworden, heisst das nun für die lösungen der Aufgabe die
> lautete:Für welche(n) Parameterwert(e) ist die Frage nach
> dem Erzeugnisvektor E bei gegebem Rohstoffvektor R
>
> (i) eindeutig lösbar
> (ii) unlösbar?
> Verwenden Sie den Gauß-Algorithmus und geben Sie für (i)
> die Lösung explizit an!
>
> zu (ii)= [mm]\alpha=[/mm] -3 und was muss ich zu (i) schreiben
> wäre sehr erfreut wenn du mir eine Lösung schreiben
> würdest, dass würde mir sehr helfen.
Das ist [mm]\alpha \not=[/mm] -3 , falls $e'_3$ ( die dritte Komponente des Ergebnisvektors nach den Umformungen) nicht 0 ist.
>
> Habe auch eine weitere Aufgabe, die scheint so ähnlich wird
> Sie genauso gelöst oder kannst oder willst du mir etwas
> dazu sagen:
>
> Die Produktionsmatrix P:= [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 &1 \\ 1 & \alpha & 2 }[/mm]
> enthält [mm]\alpha \in[/mm] R als Parameter. Für welche(n)
> Parameterwert(e) ist die Frage nach dem Erzeugnisvektor
> [mm]\overrightarrow{E}[/mm] in der Geleichung P* [mm]\overrightarrow{E}[/mm]
> = [mm]\overrightarrow{R}
[/mm]
>
> (i) mehrdeutig lösbar,
> (ii) unlösbar
> falls wir als Rohstoffvektor [mm]\overrightarrow{R}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1 }[/mm] zugrunde legen?
> Verwenden Sie den Gauß-Algorithmus und geben Sie für (i)
> die Lösung explizit an!
zu (i) rang (P) = rang (P|E) und rang (P|E) < 3 (Wichtig ist das echte kleiner als, bei rang 3 wäre es eindeutig lösbar, man sagt auch der rang ist voll)
(ii) das ist dann der Fall, wenn rang(P) [mm] $\not=$ [/mm] rang(P|E). Angenommen dein Ergebnisvektor bleibt bei der Länge 3 nach den Umformungen (die letzte Komponente wird nicht 0), dann ist es dann unlösbar, wenn die Produktionsmatrix mindestens eine Nullzeile besitzt.
Gruß Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Zizou |
Hallo Hathorman könntest du mir bitte konkret einen Lösung zu (i) und (ii) schreiben das wäre super, weil einer der beiden Aufgaben kommt in einer Prüfung und das mit deinen Erläuterungen zu Rang der matrix und so verstehe ich wirklich nicht, eine schnelle Antwort wäre super
Vielen vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo Zizou!
Also zur ii)
[mm] \begin{pmatrix}1&-1&2&|&1\\ 2&-1&1&|&2\\ 1 &\alpha & 2&|&1 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}-2&2&-4&|&-2\\ 2&-1&1&|&2\\ 1 &\alpha & 2&|&1 \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}1&-1&2&|&1\\ 0&1&-3&|&0\\ 1 &\alpha & 2&|&1 \end{pmatrix}[/mm][mm] \mapsto \begin{pmatrix}1&-1&2&|&1\\ 0&1&-3&|&0\\ 0 &\alpha +1& 0&|&0 \end{pmatrix}[/mm]
Weiter bin ich leider noch nicht gekommen...
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