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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Ninjoo |
| Aufgabe | Seien f,g : [mm] [0,1]->\IR [/mm] stetige Funktionen. Zeige, dass ein [mm] \gamma \in [/mm] (0,1) existiert mit
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{1}{g(x) dx} [/mm] = [mm] g(\gamma)*\integral_{0}^{\gamma}{f(x) dx} [/mm] + [mm] f(\gamma)*\integral_{0}^{\gamma}{g(x) dx}
[/mm]
Hinweis: Betrachte F*G für geeignete Stammfunktionen F und G von f bzw. g.
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Hallo!
Ich verzweifel total bei dieser Aufgabe.. Als weiteren Tipp habe ich von meinem Tutor bekommen, den MTW der Integralrechnung anzuwenden.
Naja das hab ich soweit:
(F(1)-F(0)) / (G(1) - G(0)) = [mm] f(\gamma) [/mm] / [mm] g(\gamma)
[/mm]
, das Liefert der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Wobei ich noch nichtmal begründen kann, wieso G(1)-G(0) und [mm] g(\gamma) [/mm] ungleich 0 sein sollten...
Kann mir jemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Mo 12.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Seien f,g : [mm][0,1]->\IR[/mm] stetige Funktionen. Zeige, dass ein
> [mm]\gamma \in[/mm] (0,1) existiert mit
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] * [mm]\integral_{0}^{1}{g(x) dx}[/mm] =
> [mm]g(\gamma)*\integral_{0}^{\gamma}{f(x) dx}[/mm] +
> [mm]f(\gamma)*\integral_{0}^{\gamma}{g(x) dx}[/mm]
>
> Hinweis: Betrachte F*G für geeignete Stammfunktionen F und
> G von f bzw. g.
>
>
> Hallo!
>
> Ich verzweifel total bei dieser Aufgabe.. Als weiteren Tipp
> habe ich von meinem Tutor bekommen, den MTW der
> Integralrechnung anzuwenden.
>
> Naja das hab ich soweit:
>
> (F(1)-F(0)) / (G(1) - G(0)) = [mm]f(\gamma)[/mm] / [mm]g(\gamma)[/mm]
>
> , das Liefert der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Mag sein. Aber ich weiss grad nicht wofuer du das brauchst.
Nimm doch mal $F(0) = 0 = G(0)$ an (also $F(t) = [mm] \int_0^t [/mm] f(x) dx$ und $G(t) = [mm] \int_0^t [/mm] g(x) dx$). Dann sollst du also zeigen: es gibt ein [mm] $\gamma \in [/mm] (0, 1)$ mit $F(1) G(1) = [mm] G'(\gamma) F(\gamma) [/mm] + [mm] F'(\gamma) G(\gamma)$.
[/mm]
Und du hast den Tipp, die Funktion $G [mm] \cdot [/mm] H$ zu betrachten. Erinnert dich die rechte Seite an etwas, was mit $G [mm] \cdot [/mm] H$ zu tun hat?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Ninjoo |
Danke für die schnelle Antwort.
Machst du da die Produktregel? Warum sollte ich die Stammfunktionen ableiten?
Welches gesetzt wendest du an =???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mo 12.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Machst du da die Produktregel?
Nein.
> Warum sollte ich die
> Stammfunktionen ableiten?
Warum nicht? Weil dann genau [mm] $f(\gamma)$ [/mm] bzw. [mm] $g(\gamma)$ [/mm] rauskommt; Stichwort: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
> Welches gesetzt wendest du an =???
Den Hauptsatz. Ansonsten nur die Definitionen von $F$ und $G$.
Was sind denn $F(1)$ und $G(1)$ und [mm] $F(\gamma)$ [/mm] uns [mm] $G(\gamma$)?
[/mm]
LG Felix
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