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Hallo Leute,
ich habe mal eine Verständnisfrage zum Produkt absolut konvergenter Reihen
(bzw. Cauchy-Produkt):
"Sind [mm] [\summe_{i=0}^{\infty}ai] [/mm] und [mm] [\summe_{k=0}^{\infty}bk] [/mm] absolut konvergente Reihen, so folgt für ihre Grenzwerte a = [mm] (\summe_{i=0}^{\infty}ai) [/mm] und b = [mm] (\summe_{k=0}^{\infty}bk), [/mm] dass
a*b = c := [mm] (\summe_{i=0, k=0}^{\infty}aibk)."
[/mm]
Unter der Voraussetzung, dass beide Reihen absolut konvergent sind, ist mir der Beweis klar. Also auch dass jede beliebige Summenfolge der ai*bk gegen [mm] (\summe_{i=0, k=0}^{\infty}aibk) [/mm] konvergiert.
Allerdings kann man ja auch sagen
[mm] (\summe_{i=0, k=0}^{m}aibk) [/mm] = [mm] (\summe_{i=0}^{m}ai)*(\summe_{k=0}^{m}bk), [/mm] und für m [mm] \to \infty [/mm] konvergiert ja auch diese Summation gegen [mm] (\summe_{i=0}^{\infty}ai)*(\summe_{k=0}^{\infty}bk). [/mm] Hier reicht es aber doch, nur Konvergenz beider Reihen vorliegen zu haben. Hier konvergiert eben nur diese eine Summation, andere Reihenfolgen (Umordnungen) nicht. Was mich verwirrt, ist dass im Heuser 1 steht, dass dieses Produkt auch divergent sein kann.
Seh ich irgendwas entscheidendes nicht? bitte um Hilfe=)
viele grüße,
Christof
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 12.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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