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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:14 Fr 03.02.2012 | | Autor: | Blubie |
Hallo, ich habe eine Reihe von Aufgaben, bei welchen ich Gleichheit zeigen soll. Anhand eines Beispiels würde ich das gerne erstmal verstehen :)
Also, Beispiel: [mm] (\{3, 2+\wurzel{-5}\})*(\{3, 2-\wurzel{-5}\})=(3) [/mm] Alles 3 sind Ideale in [mm] \IZ[\wurzel{-5}]=\{a+b\wurzel{-5}:a,b \in \IZ\}. [/mm] Die Ausdrücke sind immer Ideale, also (3) ist bspw. ein Hauptideal. Um das zu zeigen, muss ich ja zwei beliebige Elemente aus [mm] (\{3, 2+\wurzel{-5}\}) [/mm] und [mm] (\{3, 2-\wurzel{-5}\}) [/mm] wählen und sie miteinander multiplizieren und dann zeigen, dass das Ergebnis folgende Form hat 3*a, wobei a [mm] \in \IZ[\wurzel{-5}]. [/mm] Dann muss ich also [mm] (3*r_{1}+(2+\wurzel{-5})*r_{2})*(3*r_{3}+(2-\wurzel{-5})*r_{4}) [/mm] ausrechnen, wobei die r's beliebige Elemente aus dem Ring sind. Allerdings erhalte ich da einen ganz komischen Ausdruckt, bei welchem ich das nicht wirklich ablesen kann.
Kann mir jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Fr 03.02.2012 | | Autor: | hippias |
Zeige uns doch einmal Deinen "ganz komischen Ausdruck" 
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Fr 03.02.2012 | | Autor: | Blubie |
Multipliziert man das ganze aus, so erhält man [mm] (r_{1}r_{3}9 [/mm] + [mm] r_{1}r_{4}6 [/mm] + [mm] r_{2}r_{3}3 [/mm] + [mm] r_{2}r_{4}9)+\wurzel{-5}(-3r_{1}r_{4} [/mm] + [mm] 3r_{2}r_{3}). [/mm] Offensichtlich kann ich die 3 ausklammern. Jedoch muss ich dann immer noch zeigen dass die zwei summen unabhänging in ganz R gewählt werden können. Ich weiß aber nicht richtig wie ich da argumentieren kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Sa 04.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Multipliziert man das ganze aus, so erhält man
> [mm](r_{1}r_{3}9[/mm] + [mm]r_{1}r_{4}6[/mm] + [mm]r_{2}r_{3}3[/mm] +
> [mm]r_{2}r_{4}9)+\wurzel{-5}(-3r_{1}r_{4}[/mm] + [mm]3r_{2}r_{3}).[/mm]
> Offensichtlich kann ich die 3 ausklammern.
Damit siehst du doch schon, dass $(3, 2 + [mm] \sqrt{-5}) \cdot [/mm] (3, 2 - [mm] \sqrt{-5}) \subseteq [/mm] (3)$ ist.
Du musst jetzt nur noch zeigen, dass $3 [mm] \in [/mm] (3, 2 + [mm] \sqrt{-5}) \cdot [/mm] (3, 2 - [mm] \sqrt{-5})$ [/mm] ist, dann bist du fertig.
> Jedoch muss ich
> dann immer noch zeigen dass die zwei summen unabhänging in
> ganz R gewählt werden können.
Was genau verstehst du darunter? Und warum musst du das zeigen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 So 05.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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