www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Determinanten" - Produkt: regulär * diagonal
Produkt: regulär * diagonal < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Determinanten"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Produkt: regulär * diagonal: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Di 11.03.2014
Autor: Kartoffelchen

Aufgabe
Sei eine quadratische nxn Matrix M gegeben, wobei det(M) ungleich Null ist.
Zu zeigen ist: Es existiert eine reguläre Matrix R sowie eine Diagonalmatrix D = diag(1, ..., det(M)) sodass M=RD.

Meine Idee:

(1) R ist regulär, d.h. es gibt eine Matrix [mm] $R^{-1}$ [/mm] sodass [mm] $R^{-1}\cdot [/mm] R = I$.

(2) Aus der besonderen Form von D ergibt sich, dass es eine Inverse von D gibt, sodass [mm] $D^{-1} [/mm] = diag(1, ..., 1/det(M))$.

(3) Betrachtet man nun $R := [mm] MD^{-1}$ [/mm] (diesen Hinweis habe ich im Internet aufgestöbert!)

Ich weiß nicht, ob das sehr hilfreich ist, aber da ich sonst keine Idee habe, probiere ich auch hier mein Glück:

Es muss nun gezeigt werden, dass auch [mm] $MD^{-1}$ [/mm] regulär ist.
Dies ist genau dann der Fall, wenn es eine Matrix [mm] $(MD^{-1})^{-1}$ [/mm] gibt, sodass [mm] $MD^{-1} \cdot (MD^{-1})^{-1} [/mm] = I$.
Wegen [mm] $(MD^{-1})^{-1} [/mm] = D [mm] \cdot M^{-1}$ [/mm] muss es also eine INverse zu M geben. Und die gibt es, da det(M) ungleich 0 ist.

Damit ist $ S = [mm] AD^{-1} [/mm] <=> SD = [mm] AD^{-1}D [/mm] = A $ .




        
Bezug
Produkt: regulär * diagonal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:46 Mi 12.03.2014
Autor: fred97


> Sei eine quadratische nxn Matrix M gegeben, wobei det(M)
> ungleich Null ist.
>  Zu zeigen ist: Es existiert eine reguläre Matrix R sowie
> eine Diagonalmatrix D = diag(1, ..., det(M)) sodass M=RD.


Was soll das denn ????  Ist z.B. det(M)=-0,987123, so ist völlig unklar, wie D aussehen soll ? Was bedeutet  ",...,"  genau ?


>  Meine Idee:
>  
> (1) R ist regulär, d.h. es gibt eine Matrix [mm]R^{-1}[/mm] sodass
> [mm]R^{-1}\cdot R = I[/mm].
>  
> (2) Aus der besonderen Form von D ergibt sich, dass es eine
> Inverse von D gibt, sodass [mm]D^{-1} = diag(1, ..., 1/det(M))[/mm].
>  
> (3) Betrachtet man nun [mm]R := MD^{-1}[/mm] (diesen Hinweis habe
> ich im Internet aufgestöbert!)
>  
> Ich weiß nicht, ob das sehr hilfreich ist, aber da ich
> sonst keine Idee habe, probiere ich auch hier mein Glück:
>  
> Es muss nun gezeigt werden, dass auch [mm]MD^{-1}[/mm] regulär
> ist.
>  Dies ist genau dann der Fall, wenn es eine Matrix
> [mm](MD^{-1})^{-1}[/mm] gibt, sodass [mm]MD^{-1} \cdot (MD^{-1})^{-1} = I[/mm].
>  
> Wegen [mm](MD^{-1})^{-1} = D \cdot M^{-1}[/mm] muss es also eine
> INverse zu M geben. Und die gibt es, da det(M) ungleich 0
> ist.
>  
> Damit ist [mm]S = AD^{-1} <=> SD = AD^{-1}D = A[/mm] .
>  
>
>  


Es ist $0 [mm] \ne [/mm] det(M)=det(RD)=det(R)*det(D)$.

Damit sind R und D regulär und es ist [mm] R=MD^{-1} [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Produkt: regulär * diagonal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:26 Mi 12.03.2014
Autor: Kartoffelchen


> Was soll das denn ????  Ist z.B. det(M)=-0,987123, so ist
> völlig unklar, wie D aussehen soll ? Was bedeutet  ",...,"
>  genau ?

Hallo Fred:
Ich habe mich leider vertippt, denn es heißt:
D = diag(1,...,1,det(M)). Damit ist dann klar, wie die Diagonalelemente aussehen.

> Es ist [mm]0 \ne det(M)=det(RD)=det(R)*det(D)[/mm].
>  
> Damit sind R und D regulär und es ist [mm]R=MD^{-1}[/mm]
>  
> FRED

Wie schließe ich aus $R = [mm] MD^{-1}$ [/mm] dass:
(a) Es gibt eine Diagonalmatrix D mit D = diag(1,...,1,det(M)) ?

Dass eine reguläre Matrix R existiert ist ja schon gezeigt.

K.

Bezug
                        
Bezug
Produkt: regulär * diagonal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:16 Mi 12.03.2014
Autor: fred97


> > Was soll das denn ????  Ist z.B. det(M)=-0,987123, so ist
> > völlig unklar, wie D aussehen soll ? Was bedeutet  ",...,"
> >  genau ?

>  
> Hallo Fred:
>  Ich habe mich leider vertippt, denn es heißt:
>  D = diag(1,...,1,det(M)). Damit ist dann klar, wie die
> Diagonalelemente aussehen.
>
> > Es ist [mm]0 \ne det(M)=det(RD)=det(R)*det(D)[/mm].
>  >  
> > Damit sind R und D regulär und es ist [mm]R=MD^{-1}[/mm]
>  >  
> > FRED
>
> Wie schließe ich aus [mm]R = MD^{-1}[/mm] dass:
>  (a) Es gibt eine Diagonalmatrix D mit D =
> diag(1,...,1,det(M)) ?
>  
> Dass eine reguläre Matrix R existiert ist ja schon
> gezeigt.
>  
> K.


Du definierst(!) $D:=diag(1,...,1,det(M))$ und Du definierst(!) [mm]R := MD^{-1}[/mm].

Weil M und D (und damit auch [mm] D^{-1}) [/mm] regulär sind, ist R regulär.

Aus [mm]R = MD^{-1}[/mm] folgt sofort:

    $M=RD$.

Und wie von Zauberhand(!) hast Du die EXistenz von R und D mit den gewünschten Eigenschaften gezeigt !

FRED

Bezug
                                
Bezug
Produkt: regulär * diagonal: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:37 Mi 12.03.2014
Autor: Kartoffelchen

Vielen Dank, FRED :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Determinanten"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]