Produkt gleichm.stet.Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | $Sein M [mm] \subseteq \mathbb{R} [/mm] $ und $f,g: M [mm] \to \mathbb{R} [/mm] $ zwei gleichmäßig stetige Funktionen auf M.
1.) Ist f*g gleichmäßig stetig?
2.) Ist f*g gleichmäßig stetig wenn M kompakt ist? |
Hallo :)
zu 1.)
$f*g$ ist nicht gleichmäßig stetig für alle f,g; denn z.B.: ist:
$f: x [mm] \to [/mm] x$ stetig auf M, ebenso $g: [mm] x\to [/mm] x$,
jedoch ist $f*g = [mm] x^2$ [/mm] nicht gleichmäßig stetig.
zu 2.)
Wenn M kompakt ist heißt das, dass M beschränkt und abgeschlossen ist.
Leider weiß ich nicht, wie mir das bei der Beantwortung der Frage weiterhelfen kann.
Für Hilfe wie immer sehr dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Di 25.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]Sein M \subseteq \mathbb{R}[/mm] und [mm]f,g: M \to \mathbb{R}[/mm] zwei
> gleichmäßig stetige Funktionen auf M.
>
> 1.) Ist f*g gleichmäßig stetig?
> 2.) Ist f*g gleichmäßig stetig wenn M kompakt ist?
> Hallo :)
>
> zu 1.)
> [mm]f*g[/mm] ist nicht gleichmäßig stetig für alle f,g; denn
> z.B.: ist:
>
> [mm]f: x \to x[/mm] stetig auf M, ebenso [mm]g: x\to x[/mm],
>
> jedoch ist [mm]f*g = x^2[/mm] nicht gleichmäßig stetig.
Das hängt aber gewaltig von M ab !
Z.B. ist [mm] h(x)=x^2 [/mm] auf [0,1] glm sretig, nichr aber auf [mm] \IR [/mm] !
>
> zu 2.)
> Wenn M kompakt ist heißt das, dass M beschränkt und
> abgeschlossen ist.
> Leider weiß ich nicht, wie mir das bei der Beantwortung
> der Frage weiterhelfen kann.
Es gilt folgender Satz (den Ihr sicher hattet):
Ist M kompakt und f auf M stetig, so ist f auf M glm. stetig.
FRED
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> Für Hilfe wie immer sehr dankbar :)
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Nein, den Satz kenne ich leider nicht. Wie kann ich den für aufg. 2 denn anwenden?
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Hallo,
Wie Fred bereits gesagt hat:
"Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist auf dieser gleichmäßig stetig"
Wie dir das hilft?
Na lies doch nochmal deine Aufgabenstellung in 2) ;)
Hierzu sei angemerkt: wenn f und g stetig sind auf M ist dann auch f*g stetig? wenn du das gezeigt hast , ergeht aufgrund dieses Satzes auf einem Kompaktum sofort die glm. Stetigkeit
Lg Thomas
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