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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 So 04.12.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, ich habe eine Frage zu dieser Wiki-Definition des Begriffs Produkt:
http://de.wikipedia.org/wiki/Produkt_(Kategorientheorie) |
Sind da nur die Morphismen [mm] $pr_i$ [/mm] Morphismen der Kategorie?
Und die Morphismen [mm] $f_i$ [/mm] nicht? Sprich: Sind das "irgendwelche" Morphismen?
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> Hallo, ich habe eine Frage zu dieser Wiki-Definition des
> Begriffs Produkt:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Produkt_(Kategorientheorie)
> Sind da nur die Morphismen [mm]pr_i[/mm] Morphismen der Kategorie?
>
> Und die Morphismen [mm]f_i[/mm] nicht? Sprich: Sind das
> "irgendwelche" Morphismen?
Das ganze spielt sich innerhalb einer (fest gewählten) Kategorie ab.
C, P und [mm] A_i [/mm] sind Objekte dieser Kategorie und f, [mm] f_i [/mm] und [mm] pr_i [/mm] Morphismen zwischen diesen Objekten wie im Diagramm dargestellt.
Also sind f, [mm] f_i [/mm] und [mm] pr_i [/mm] Morphismen der betrachteten Kategorie.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 So 04.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Okay, dankeschön.
Ich soll nämlich Folgendes zeigen:
Sei [mm] $(P,\leq)$ [/mm] eine partiell geordnete Menge. Wenn man [mm] $(P,\leq)$ [/mm] als Kategorie [mm] $\mathcal{K}$ [/mm] auffasst mit
1.) [mm] $Ob\mathcal{K}=P$ [/mm] und
2.) [mm] $\operatorname{Hom}_{\mathcal{K}}(a,b)=\begin{cases}
\left\{(a,b)\right\} &, a\leq b\\
\emptyset &, \text{sonst}
\end{cases}$
[/mm]
für [mm] $a,b\in [/mm] P$, so gilt:
Die Familie [mm] $(a_i)_{i\in I}$ [/mm] von Elementen von [mm] $\mathcal{K}$ [/mm] besitzt ein Infimum $c$ [mm] $\Leftrightarrow$ $(a_i)_{i\in I}$ [/mm] besitzt ein Produkt in der Kategorie [mm] $\mathcal{K}$.
[/mm]
(Dieses ist gegeben durch das Objekt $c$ und die Morphismenfamilie [mm] $((c,a_i))_{i\in I}$.
[/mm]
Beweis(versuch):
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Es habe [mm] $(a_i)_{i\in I}$ [/mm] ein Infimum c, d.h. [mm] $c\leq a_i\forall i\in [/mm] I$.
Wenn ich jetzt das Wikipedia-Dreieck hernehme und dort
$P:=c$
[mm] $pr_i: c\to a_i\forall i\in [/mm] I$ setze, so ist doch
[mm] $(c,\left\{pr_i:i\in I\right\})$ [/mm] schon ein Produkt, oder?
Es gibt genau einen Morphismus $f: [mm] C\to [/mm] c$, nämlich [mm] $\left\{(c,c)\right\}$, [/mm] für den gilt:
[mm] $f_i=pr_i\circ [/mm] f$ für alle [mm] $i\in [/mm] I$
Ist das so richtig?
[Rückrichtung lasse ich erstmal weg.]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 So 04.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Nee, also das mit dem einen Morphismus f stimmt glaube ich nicht.
Es muss ja für JEDES Objekt C gelten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 So 04.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Also nochmal! 
So würde ich das jetzt aufschreiben:
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Betrachte das Dreieck bei Wikipedia:
http://de.wikipedia.org/wiki/Produkt_(Kategorientheorie)
Setze dort
[mm] $P:=c=\inf a_i$,
[/mm]
[mm] $pr_i: c\to a_i$
[/mm]
und nenne der Übersichtlichkeit halber C in Q um (da das P schon in Gebrauch ist).
Dann stellt dies das Produkt [mm] $(c,\left\{pr_i:i\in I\right\})$ [/mm] dar, denn:
(1) c ist ein Objekt von [mm] $\mathcal{K}$
[/mm]
(2) [mm] $pr_i$ [/mm] ist ein Morphismus von c nach [mm] $a_i$ [/mm] (für alle [mm] $i\in [/mm] I$), wobei [mm] $c,a_i\in [/mm] P$ und [mm] $c\leq a_i$ [/mm] woraus folgt, daß [mm] $\operatorname{Hom}_{\mathcal{K}}(c,a_i)=\left\{(c,a_i)\right\}$.
[/mm]
(3) Für jedes Objekt Q und jede Familie von Morphismen [mm] $f_i$ [/mm] von Q nach [mm] $a_i$ [/mm] gibt es genau einen Morphismus $f$ von $Q$ nach $c$ mit [mm] $f_i=pr_i\circ [/mm] f$.
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Muss man noch etwas zur Eindeutigkeit von f sagen?
Die gilt m.E. nach Definition, denn
[mm] $f=\operatorname{Hom}_{\mathcal{K}}(Q,c)=\begin{cases}
\left\{(c,c)\right\} &, Q=c\\
\emptyset & sonst
\end{cases}$
[/mm]
und das ist doch eindeutig so festgelegt.
Liege ich richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 So 04.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Der Beweis für die Rück-Richtung fehlt noch:
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
[mm] $(a_i)_{i\in I}$ [/mm] besitze ein Produkt in [mm] $\mathcal{K}$, [/mm] d.h. u.a. für das Dreieck (bei Wikipedia):
Für alle [mm] $i\in [/mm] I$ ist [mm] $pr_i$ [/mm] ein Morphismus von P nach [mm] $a_i$. [/mm]
Angenommen [mm] $P\neq \inf a_i$. [/mm]
Dann gibt es es [mm] $i\in [/mm] I$: [mm] $P>a_i$.
[/mm]
Das heißt: [mm] $\operatorname{Hom}_{\mathcal{K}}(P,a_i)=\emptyset$, [/mm] d.h. [mm] $pr_i$ [/mm] kann kein Morphismus von P nach [mm] $a_i$ [/mm] sein.
WIDERSPRUCH
Also ist [mm] $P=\inf a_i$ [/mm] und somit [mm] $\inf a_i\in [/mm] P$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 So 04.12.2011 | | Autor: | Berieux |
> Der Beweis für die Rück-Richtung fehlt noch:
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
>
> [mm](a_i)_{i\in I}[/mm] besitze ein Produkt in [mm]\mathcal{K}[/mm], d.h.
> u.a. für das Dreieck (bei Wikipedia):
>
> Für alle [mm]i\in I[/mm] ist [mm]pr_i[/mm] ein Morphismus von P nach [mm]a_i[/mm].
>
> Angenommen [mm]P\neq \inf a_i[/mm].
>
> Dann gibt es es [mm]i\in I[/mm]: [mm]P>a_i[/mm].
>
> Das heißt:
> [mm]\operatorname{Hom}_{\mathcal{K}}(P,a_i)=\emptyset[/mm], d.h.
> [mm]pr_i[/mm] kann kein Morphismus von P nach [mm]a_i[/mm] sein.
>
> WIDERSPRUCH
>
> Also ist [mm]P=\inf a_i[/mm] und somit [mm]\inf a_i\in P[/mm].
Damit hast du zunächst mal bloß [mm]P\leq inf(a_{i})[/mm] gezeigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 04.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Also gezeigt ist [mm] $P\leq \inf a_i$.
[/mm]
Aber folgt daraus nicht, dass dieses Infimum existiert?
Ich überlege gerade, wie.
Gibts einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 So 04.12.2011 | | Autor: | Berieux |
> Also gezeigt ist [mm]P\leq \inf a_i[/mm].
>
> Aber folgt daraus nicht, dass dieses Infimum existiert?
>
>
Nein eigentlich noch nicht. Nehme an, dass kein Infimum existiert. Sei c das Produkt der [mm] (a_{i}). [/mm] Da kein Infimum existiert, gibt es ein [mm]b,[/mm] mit [mm] c< b\leq a_{i}[/mm] für alle i. Also gibt es Morphismen (b, [mm] a_{i}) [/mm] für alle i. Zugleich aber keinen Morphismus (b,c). Widerspruch.
> Ich überlege gerade, wie.
>
> Gibts einen Tipp?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:11 So 04.12.2011 | | Autor: | mikexx |
2 Fragem hierzu:
Wenn es kein Infimum gibt, wieso gibt es dann
[mm] $c
und wieso keinen Morphismus $(b,c)$?
Ich versuchs mal selbst zu beantworten!
Wenn es kein Infimum gibt, gibt es weder IN der Menge, noch AUSSERHALB irgendeine untere Schranke, also kann man das so konstruieren.
Und dass es keinen Morphismus (b,c) gibt ist klar, da hatte ich eben nicht nachgedacht, sorry.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 06.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 So 04.12.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Okay, dankeschön.
>
> Ich soll nämlich Folgendes zeigen:
>
> Sei [mm](P,\leq)[/mm] eine partiell geordnete Menge. Wenn man
> [mm](P,\leq)[/mm] als Kategorie [mm]\mathcal{K}[/mm] auffasst mit
>
> 1.) [mm]Ob\mathcal{K}=P[/mm] und
>
> 2.) [mm]$\operatorname{Hom}_{\mathcal{K}}(a,b)=\begin{cases}
\left\{(a,b)\right\} &, a\leq b\\
\emptyset &, \text{sonst}
\end{cases}$[/mm]
>
> für [mm]a,b\in P[/mm], so gilt:
>
> Die Familie [mm](a_i)_{i\in I}[/mm] von Elementen von [mm]\mathcal{K}[/mm]
> besitzt ein Infimum [mm]c[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm](a_i)_{i\in I}[/mm]
> besitzt ein Produkt in der Kategorie [mm]\mathcal{K}[/mm].
>
> (Dieses ist gegeben durch das Objekt [mm]c[/mm] und die
> Morphismenfamilie [mm]((c,a_i))_{i\in I}[/mm].
>
> Beweis(versuch):
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
>
> Es habe [mm](a_i)_{i\in I}[/mm] ein Infimum c, d.h. [mm]c\leq a_i\forall i\in I[/mm].
>
> Wenn ich jetzt das Wikipedia-Dreieck hernehme und dort
>
> [mm]P:=c[/mm]
>
> [mm]pr_i: c\to a_i\forall i\in I[/mm] setze, so ist doch
>
> [mm](c,\left\{pr_i:i\in I\right\})[/mm] schon ein Produkt, oder?
>
> Es gibt genau einen Morphismus [mm]f: C\to c[/mm], nämlich
> [mm]\left\{(c,c)\right\}[/mm], für den gilt:
>
> [mm]f_i=pr_i\circ f[/mm] für alle [mm]i\in I[/mm]
>
Das ist bloß der richtige Morphismus, falls C=c.
>
>
> Ist das so richtig?
>
Sorry das ist völlig durcheinander, und eigentlich hast du noch nix gezeigt (gilt auch für deine anderen Mitteilungen).
Du nimmst dir ein Objekt b. Zusammen mit Morphismen [mm]f_{i}:b\to a_{i}[/mm]. Dass diese Morphismen überhaupt existieren impliziert schon [mm] b\leq inf(a_{i})[/mm] (klar wieso?). Jetzt versuch mal das [mm]f:b\to c[/mm] zu finden. (Du musst hier die Transitivität von [mm]\leq[/mm] benutzen).
Beste Grüße,
Berieux
> [Rückrichtung lasse ich erstmal weg.]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 So 04.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich weiß nicht so wirklich, was Du meinst, sorry!
Was meinst Du mit Transitivität ausnutzen?
Ich habe nur
[mm] $f=\operatorname{Hom}_{\mathcal{K}}=\begin{cases}
\left\{(c,c)\right\} &, Q=c\\
\emptyset & sonst
\end{cases}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 So 04.12.2011 | | Autor: | Berieux |
> Ich weiß nicht so wirklich, was Du meinst, sorry!
>
> Was meinst Du mit Transitivität ausnutzen?
>
>
> Ich habe nur
>
> [mm]$f=\operatorname{Hom}_{\mathcal{K}}=\begin{cases}
\left\{(c,c)\right\} &, Q=c\\
\emptyset & sonst
\end{cases}$[/mm]
>
Nein, du hast Hom(Q,c)={(Q,c)} falls [mm]Q\leq c[/mm]. Und dass [mm]Q\leq c[/mm] gelten muss, hab ich ja oben schon erwähnt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 So 04.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Ist diese Richtung des Beweises dann abgeschlossen?
Du hast geschrieben, ich hatte eigentlich noch nix gezeigt, aber was muss ich denn jetzt noch zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 So 04.12.2011 | | Autor: | Berieux |
siehe unten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 So 04.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Also wenn man ein Objekt b hat und zu diesem die [mm] $f_i$ [/mm] existieren, muss b ja kleiner/ gleich [mm] $a_i$ [/mm] sein für alle [mm] $i\in [/mm] I$. Also muss b mindestens so klein sein wie das Infimum der [mm] $a_i$, [/mm] kann aber auch kleiner sein.
Damit die Morphismen [mm] $pr_i$ [/mm] existieren, muss das Element c auf das b durch f abgebildet wird, auch mindestens so klein sein wie das Infimum der [mm] $a_i$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 So 04.12.2011 | | Autor: | Berieux |
> Also wenn man ein Objekt b hat und zu diesem die [mm]f_i[/mm]
> existieren, muss b ja kleiner/ gleich [mm]a_i[/mm] sein für alle
> [mm]i\in I[/mm]. Also muss b mindestens so klein sein wie das
> Infimum der [mm]a_i[/mm], kann aber auch kleiner sein.
>
Ja. Also ich schreib mal hier die eine Richtung hin. Das ist eigentlich ganz einfach. Wenn Morphismen [mm]f_{i}:b\to a_{i}[/mm] existieren gilt zwangsläufig [mm]b\leq c[/mm]. Setze also einfach [mm]f:=(b,c)[/mm]. Wegen der Transitivität von [mm]\leq[/mm] folgt dann [mm]pr_{i}\circ f=f_{i}[/mm]. Über Eindeutigkeit brauchst du dir natürlich sowieso keine Gedanken zu machen weil es eh höchstens einen Morphismus zwischen 2 Objekten gibt.
> Damit die Morphismen [mm]pr_i[/mm] existieren, muss das Element c
> auf das b durch f abgebildet wird, auch mindestens so klein
> sein wie das Infimum der [mm]a_i[/mm].
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 So 04.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Und wenn die Morphismen [mm] $f_i$ [/mm] nicht existieren, ist [mm] $b>a_i$ [/mm] für alle i aus I und dann folgt wegen der Transitivität, f=leere Menge?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 So 04.12.2011 | | Autor: | Berieux |
> Und wenn die Morphismen [mm]f_i[/mm] nicht existieren, ist [mm]b>a_i[/mm]
> für alle i aus I und dann folgt wegen der Transitivität,
> f=leere Menge?
Also zunächst mal ist f ein Morphismus, und kann von daher hier nicht die leere Menge sein.
Darüberhinaus brauchst du diesen Fall gar nicht zu betrachten. Sondern nur den Fall dass solche Morphismen existieren. Also [mm]b\leq a_{i}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 So 04.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Letzte Frage:
Wieso muss ich diesen Fall nicht betrachten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 04.12.2011 | | Autor: | Berieux |
> Letzte Frage:
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> Wieso muss ich diesen Fall nicht betrachten?
Naja, du siehst ja was im Wikipedia artikel steht. Zu jedem Objekt b und jeder Familie von Morphismen sollst du so ein f finden. Wenn aber keine solche Familie von Morphismen [mm]b\to a_{i}[/mm] existiert, ist natürlich auch nichts zu zeigen.
Die Sache ist doch, dass du mit b beliebig und solchen Morphismen startest, und dann halt aus der Existenz der Morphismen [mm]b\leq c[/mm] folgerst.
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