Produkt-u. Quotientenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Do 11.10.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Differenzieren Sie die folgenden Funktionen ($x [mm] \subset [/mm] IR$):
a) $f(x)=(x+1) [mm] \cdot{} [/mm] sin x$
b) $g(x) = [mm] \bruch{x}{(x²+1)²}$
[/mm]
c) $h(x) = [mm] cos\wurzel{x+1}$ [/mm] (x > -1)
d) $k(x) = (x²-2)(5x+1)$ |
Hallo Zusammen,
a) $f(x)=(x+1) [mm] \cdot{} [/mm] sin x$
u = x+1 u'= 1
v = sin x v'= cos x
y' = 1 [mm] $\cdot{}$ [/mm] sin x + (x+1) [mm] $\cdot{}$ [/mm] cos x = sin x + cos x² + cos x
b) $g(x) = [mm] \bruch{x}{(x²+1)²}$
[/mm]
u = x u'= 1
v = (x²+1)² -> [mm] $x^4+4x^4+1$ [/mm] v'= 4x³+16x³ [mm] v²=($x^4+4x^4+1$)²
[/mm]
$y'= [mm] \bruch{1 \cdot{} (x²+1)² - x \cdot{} (4x³+16x³)}{(x^4+4x^4+1)²}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{(x²+1)² - 4x^4-16x^4)}{(x^4+4x^4+1)²}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{(x^4+4x^4+1-4x^4-16x^4)}{(x^4+4x^4+1)²}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{1-15x^4}{(x^4+4x^4+1)²}$
[/mm]
c) $h(x) = [mm] cos\wurzel{x+1}$
[/mm]
u = cos u'= -sinx
v = [mm] $\wurzel{x+1}$ [/mm] v'= [mm] $\bruch{1}{2}x^-^0^,^5$
[/mm]
$y' = -sinx [mm] \cdot{} \wurzel{x+1} [/mm] + cos [mm] \cdot{} \bruch{1}{2}x^-^0^,^5$
[/mm]
wie geht es dann weiter, vorausgesetzt die Ableitung von [mm] $\wurzel{x+1}$ [/mm] stimmt?
d) $k(x) = (x²-2)(5x+1)$
u = x²-2 u' = 2x
v = 5x+1 v' = 5
y' = 2x(5x+1) + (x²-2)5
= 10x² + 2x + 5x² - 10
= 15x² + 2x -10
passt dies so? Danke!
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> Differenzieren Sie die folgenden Funktionen ([mm]x \subset IR[/mm]):
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> a) [mm]f(x)=(x+1) \cdot{} sin x[/mm]
>
> b) [mm]g(x) = \bruch{x}{(x²+1)²}[/mm]
>
> c) [mm]h(x) = cos\wurzel{x+1}[/mm] (x > -1)
>
> d) [mm]k(x) = (x²-2)(5x+1)[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> a) [mm]f(x)=(x+1) \cdot{} sin x[/mm]
>
> u = x+1 u'= 1
>
> v = sin x v'= cos x
>
> y' = 1 [mm]\cdot{}[/mm] sin x + (x+1) [mm]\cdot{}[/mm] cos x = sin x + cos x²
> + cos x
>
Hallo,
es ist x*cos(x) doch nicht [mm] cos(x^2)! [/mm] Zeichne Dir mal beide Funktionen auf, dann siehst Du, wie unterschiedlich die sind.
Ich hoffe, daß Dir klar ist, daß 3*cox keinesfalls cos(3x) ist.
>
> b) [mm]g(x) = \bruch{x}{(x²+1)²}[/mm]
>
> u = x u'= 1
>
> v = (x²+1)² -> [mm]x^4+4x^4+1[/mm]
Du warst beim Ausmultiplizieren der Klammer schusselig, und das zieht dann natürlich ein Rattenschwanz nach sich.
>
> c) [mm]h(x) = cos\wurzel{x+1}[/mm]
>
> u = cos u'= -sinx
>
> v = [mm]\wurzel{x+1}[/mm] v'= [mm]\bruch{1}{2}x^-^0^,^5[/mm]
Das stimmt nicht. Es ist doch [mm] v=(x+1)^{0.5}, [/mm] also ist die Ableitung (äußere*innere) [mm] v'=0.5*(x+1)^{-0.5}*1=0.5*(x+1)^{-0.5}
[/mm]
>
>
> [mm]y' = -sinx \cdot{} \wurzel{x+1} + cos \cdot{} \bruch{1}{2}x^-^0^,^5[/mm]
>
> wie geht es dann weiter, vorausgesetzt die Ableitung von
> [mm]\wurzel{x+1}[/mm] stimmt?
>
>
> d) [mm]k(x) = (x²-2)(5x+1)[/mm]
>
> u = x²-2 u' = 2x
>
> v = 5x+1 v' = 5
>
> y' = 2x(5x+1) + (x²-2)5
> = 10x² + 2x + 5x² - 10
> = 15x² + 2x -10
Das ist richtig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Do 11.10.2007 | | Autor: | itse |
> Hallo,
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> es ist x*cos(x) doch nicht [mm]cos(x^2)![/mm] Zeichne Dir mal beide
> Funktionen auf, dann siehst Du, wie unterschiedlich die
> sind.
> Ich hoffe, daß Dir klar ist, daß 3*cox keinesfalls cos(3x)
> ist.
ja, die haben nichts gemein miteinander, also dann cos²(x)?
> > b) [mm]g(x) = \bruch{x}{(x²+1)²}[/mm]
> >
> > u = x u'= 1
> >
> > v = (x²+1)² -> [mm]x^4+4x^4+1[/mm]
>
> Du warst beim Ausmultiplizieren der Klammer schusselig, und
> das zieht dann natürlich ein Rattenschwanz nach sich.
(x²+1)²
x²*x² = [mm] $x^4$
[/mm]
(x²*1*2) = 2x² = (2x²)² = [mm] $4x^4$
[/mm]
1² = 1
so sollte es doch richtig sein, ich seh den Fehler nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Do 11.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo itse
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> > es ist x*cos(x) doch nicht [mm]cos(x^2)![/mm] Zeichne Dir mal beide
> > Funktionen auf, dann siehst Du, wie unterschiedlich die
> > sind.
> > Ich hoffe, daß Dir klar ist, daß 3*cox keinesfalls
> cos(3x)
> > ist.
>
> ja, die haben nichts gemein miteinander, also dann
> cos²(x)?
NEIN!
cos^2x=cos(x)*cos(x)
[mm] cos(x*x)=cos(x^2)
[/mm]
x*cos(x) kann man nicht anders schreiben! ebensowenig wie du 3*cosx vereinfachen kannst!
> > > b) [mm]g(x) = \bruch{x}{(x²+1)²}[/mm]
> > >
> > > u = x u'= 1
> > >
> > > v = (x²+1)² -> [mm]x^4+4x^4+1[/mm]
> >
> > Du warst beim Ausmultiplizieren der Klammer schusselig, und
> > das zieht dann natürlich ein Rattenschwanz nach sich.
>
> (x²+1)²
>
> x²*x² = [mm]x^4[/mm]
>
> (x²*1*2) = 2x² = (2x²)² = [mm]4x^4[/mm]
wieso ist [mm] 2*x^2 =(2x^2)^2 [/mm]
das ist völlig falsch. setz mal x=3 dann steht da [mm] 2*3^2=(18^2) [/mm] also 18=324!
[mm] 2*x^2 [/mm] ist fertig und kann nicht weiter bearbeitet werden
links steht bei dir 2*x*x rechts 4*x*x*x*x und dazwischen =
> 1² = 1
(bei Umformungen, bei denen man unsicher ist immer mal ne Zahl für x einsetzen nur meistens nicht grad 0 oder 1)
> so sollte es doch richtig sein, ich seh den Fehler nicht.
aber ohne ausmultiplizieren wärs einfacher [mm] u=(x^2+1)^2 [/mm]
[mm] u'=2*(x^2+1)*2x [/mm] (Kettenregel)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Do 11.10.2007 | | Autor: | itse |
> > so sollte es doch richtig sein, ich seh den Fehler nicht.
>
> aber ohne ausmultiplizieren wärs einfacher [mm]u=(x^2+1)^2[/mm]
> [mm]u'=2*(x^2+1)*2x[/mm] (Kettenregel)
> Gruss leduart
Die Kettenregel hatten wir noch nicht, könnte sie mir jemand kurz erklären?
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> > > so sollte es doch richtig sein, ich seh den Fehler nicht.
> >
> > aber ohne ausmultiplizieren wärs einfacher [mm]u=(x^2+1)^2[/mm]
> > [mm]u'=2*(x^2+1)*2x[/mm] (Kettenregel)
> > Gruss leduart
>
> Die Kettenregel hatten wir noch nicht, könnte sie mir
> jemand kurz erklären?
Hallo,
sind das keine Aufgaben aus der Schule?
Ohne  Kettenregel kannst Du auch $ h(x) = [mm] cos\wurzel{x+1} [/mm] $ nicht lösen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Do 11.10.2007 | | Autor: | itse |
Ach so, doch das sind Aufgaben aus der Schule. Da war unser Mathelehrer mal wieder etwas verwirrt.
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