Probleme mit der 2. Ableitung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Funktionsschar [mm] f_{k} [/mm] mit [mm] f_{k} [/mm] (x) = [mm] \bruch{5e^{x}}{e^{x} +k} [/mm] , k [mm] \in \IR [/mm] >0
Aufgabe:
Zeigen Sie, dass jeder Graph von [mm] f_{k} [/mm] genau einen Wendepunkt [mm] W_{k} [/mm] hat. Bestimmen Sie seine Koordinaten. |
Mir ist klar, dass mein hinreichendes Kriterium [mm] f_{k}''(x)=0 [/mm] ^ [mm] f_{k}'''(x)<> [/mm] 0.
Fuer die erste Ableitung habe ich dieses Ergebnis [mm] f_{k}'(x)=\bruch{5ke^{x}}{(e^{x} +k)^2}
[/mm]
So und nun beginnen meine Probleme bei der zweiten Ableitung.
Ich bin bis dahin gekommen: [mm] f_{k}''(x)=\bruch{5ke^{x}*(e^{x} +k)^{2}-5ke^{x}*[e^{x}*2(e^{x}+k)]}{(e^{x} +k)^{3}}
[/mm]
Wahrscheinlich habe ich mich da schon verlaufen! Bekommt Ihr da das selbe heraus?
Das habe ich dann umgestaltet zu:
[mm] f_{k}''(x)=\bruch{-5ke^{x}*[(e^{x} +k)^{2}+e^{x}*2(e^{x}+k)]}{(e^{x} +k)^3}
[/mm]
So und nun komme ich nicht mehr weiter. Sieht mir irgendwie viel zu wirr aus.
Ueber Eure Tipps wuerde ich mich sehr freuen.
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Hallo denisjestmikusz,
> Funktionsschar [mm]f_{k}[/mm] mit [mm]f_{k}[/mm] (x) = [mm]\bruch{5e^{x}}{e^{x} +k}[/mm]
> , k [mm]\in \IR[/mm] >0
>
> Aufgabe:
>
> Zeigen Sie, dass jeder Graph von [mm]f_{k}[/mm] genau einen
> Wendepunkt [mm]W_{k}[/mm] hat. Bestimmen Sie seine Koordinaten.
> Mir ist klar, dass mein hinreichendes Kriterium
> [mm]f_{k}''(x)=0[/mm] ^ [mm]f_{k}'''(x)<>[/mm] 0.
>
> Fuer die erste Ableitung habe ich dieses Ergebnis
> [mm]f_{k}'(x)=\bruch{5ke^{x}}{(e^{x} +k)^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> So und nun beginnen meine Probleme bei der zweiten
> Ableitung.
> Ich bin bis dahin gekommen:
> [mm]f_{k}''(x)=\bruch{5ke^{x}*(e^{x} +k)^{2}-5ke^{x}*[e^{x}*2(e^{x}+k)]}{(e^{x} +k)^{3}}[/mm]
>
> Wahrscheinlich habe ich mich da schon verlaufen! Bekommt
> Ihr da das selbe heraus?
Bis auf den Nenner, dieser liegt in der 4. Potenz vor.
>
> Das habe ich dann umgestaltet zu:
>
> [mm]f_{k}''(x)=\bruch{-5ke^{x}*[(e^{x} +k)^{2}+e^{x}*2(e^{x}+k)]}{(e^{x} +k)^3}[/mm]
Da hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
[mm]f_{k}''(x)=\bruch{-5ke^{x}*[\red{-}(e^{x} +k)^{2}+e^{x}*2(e^{x}+k)]}{(e^{x} +k)^{\red{4}}}[/mm]
>
> So und nun komme ich nicht mehr weiter. Sieht mir irgendwie
> viel zu wirr aus.
Da kann man noch [mm]e^{x}+k[/mm] ausklammern.
>
> Ueber Eure Tipps wuerde ich mich sehr freuen.
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
> > Das habe ich dann umgestaltet zu:
> >
> > [mm]f_{k}''(x)=\bruch{-5ke^{x}*[(e^{x} +k)^{2}+e^{x}*2(e^{x}+k)]}{(e^{x} +k)^3}[/mm]
>
> Da hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
>
> [mm]f_{k}''(x)=\bruch{-5ke^{x}*[\red{-}(e^{x} +k)^{2}+e^{x}*2(e^{x}+k)]}{(e^{x} +k)^{\red{4}}}[/mm]
>
Na klar, da ist mein Fehler. Ich habe doch [mm] [(e^{x} +k)^{2}]^{2} [/mm] im Nenner. Die Exponenten 2+2 und dann habe ich
[mm] (e^{x} +k)^{4}
[/mm]
> >
> > So und nun komme ich nicht mehr weiter. Sieht mir irgendwie
> > viel zu wirr aus.
>
> Da kann man noch [mm]e^{x}+k[/mm] ausklammern.
>
> >
> > Ueber Eure Tipps wuerde ich mich sehr freuen.
>
> Gruß
> MathePower
Danke fuer Deine Hilfe.
Denis
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