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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Di 19.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich hab irgendwie totale Probleme mit den Ana-Beweisen.
Hier zum Beispiel mal der Dichtesatz:
Zu je zwei reellen Zahlen x,y mit x<y gibt es eine rationale Zahl q mit x<q<y.
Der Beweis dazu lautet wie folgt:
Man wähle ein [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] \bruch{1}{n}
Sei dann A die Menge der ganzen Zahlen >nx.
A ist nach dem Archimedischen Axiom nicht leer, enthält also eine kleinste Zahl m.
Damit gilt [mm] x<\bruch{m}{n}=\bruch{m-1}{n}+\bruch{1}{n}
Die rationale Zahl [mm] q:=\bruch{m}{n} [/mm] liegt also zwischen x und y.
Also irgendwie verstehe ich das überhaupt nicht.
Wenn ich das jetzt so lese, dann habe ich das ganze doch nur für Zahlen q gezeigt, für deren Nenner n gilt, dass [mm] \bruch{1}{n}
Aber was ist mit allen anderen Zahlen q, bei denen das nicht so ist???
Überhaupt, dass ich da am Anfang irgendwas wähle, was n und A sein sollen, was ist denn, wenn es nicht so ist? Wenn der Satz nur für die so gewählten Objekte gilt, dann gilt ja doch gar nicht allgemein und immer???
Ich folgere ja alles aus diesen Aussagen, aber ich versteh überhaupt nicht, warum ich die überhaupt nehme, was die mit der Aussage des Satzes zu tun haben, und so...
Irgendwie verzweifel ich grad total, ich verstehe diese Art von Beweisen überhaupt nicht ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen!
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Di 19.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo zusammen!
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> Ich hab irgendwie totale Probleme mit den Ana-Beweisen.
>
> Hier zum Beispiel mal der Dichtesatz:
>
>
>
> Zu je zwei reellen Zahlen x,y mit x<y gibt es eine
> rationale Zahl q mit x<q<y.
>
>
>
> Der Beweis dazu lautet wie folgt:
>
>
>
>
> Man wähle ein [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]\bruch{1}{n}
> Sei dann A die Menge der ganzen Zahlen >nx.
> A ist nach dem Archimedischen Axiom nicht leer, enthält
> also eine kleinste Zahl m.
> Damit gilt
> [mm]x<\bruch{m}{n}=\bruch{m-1}{n}+\bruch{1}{n}
> Die rationale Zahl [mm]q:=\bruch{m}{n}[/mm] liegt also zwischen x
> und y.
>
>
>
> Also irgendwie verstehe ich das überhaupt nicht.
> Wenn ich das jetzt so lese, dann habe ich das ganze doch
> nur für Zahlen q gezeigt, für deren Nenner n gilt, dass
> [mm]\bruch{1}{n}
Fast richtig: sogar nur für diejenigen für die $m>nx$ und [mm] $m-1\le [/mm] nx$ ist.
> Aber was ist mit allen anderen Zahlen q, bei denen das
> nicht so ist???
Ah, aber hier geht es nicht um andere Zahlen. Dieser Satz ist ein Existenzsatz; er sagt, es gibt eine solche rationale Zahl. Es reicht also, irgendeine solche rationale Zahl zu finden.
Der Beweis ist ein konstruktiver Beweis: die Existenz einer solchen rationalen Zahl wird gezeigt, indem frau eine Vorschrift angibt, mit der man eine passende Zahl finden kann. Das sagt überhaupt nichts darüber aus, ob das die einzige Zahl ist, die man finden kann, oder ob es zwei gibt, oder drei oder unendlich viele. (Tatsächlich sind es sogar unendlich viele, aber der Satz selbst und der Beweis sagen darüber zunächst mal nichts aus.)
> Überhaupt, dass ich da am Anfang irgendwas wähle, was n
> und A sein sollen, was ist denn, wenn es nicht so ist? Wenn
> der Satz nur für die so gewählten Objekte gilt, dann gilt
> ja doch gar nicht allgemein und immer???
Moment: hier musst du genau aufpassen, welche Objekte frei gewählt werden dürfen. Die reellen Zahlen x und y sind vorgegeben. Aber da du ja nur irgendeine rationale Zahl q finden musst, die die Bedingung $x<q<y$ erfüllt, darfst du - wenn es mehrere Möglichkeiten gibt - eine davon auswählen.
Wenn du das zu unanschaulich findest, dann probier es doch einfach mal mit Zahlen aus. Nimm zum Beispiel an, dass [mm] $y=\sqrt{3}$ [/mm] und [mm] $x=\sqrt{2}$ [/mm] und gehe damit den Beweis Schritt für Schritt durch. Wenn du ein n wählen sollst, dann wähle eines aus (sagen wir n=4) und führe die weiteren Schritte durch. Dann wiederhole das mit einem anderen Wert von n (z.B. n=7) und überlege dir, was sich ändert und was gleichbleibt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:33 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
Ich seh grad, das ich hier damals gar keine Mitteilung dagelassen habe.
Du hast mir auf jeden Fall sehr geholfen mit deiner Antwort.
Vielen Dank dafür!
LG Nadine
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