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Hallo,
ich habe eine Frage zur folgender Aufgabe:
5. Es sei A [mm] =\begin{pmatrix}3 & -1 \\-1 & 3 \end{pmatrix} [/mm] .
(a) Wie lauten die Eigenwerte von A?
(b) Ermitteln Sie zu den Eigenwerten die zugehörigen Eigenvektoren.
Wie lauten die entsprechenden normierten Eigenvektoren [mm] \vec [/mm] e1
und [mm] \vec [/mm] e2.
Was können Sie über die Lage der beiden Eigenvektoren aussagen? (Vergleichen Sie
das Ergebnis mit dem der vorigen Aufgabe.)
(c) Bilden Sie aus den Eigenvektoren die Matrix B, indem Sie die normierten Eigenvektoren
spaltenweise eintragen. Ermitteln Sie dann [mm] B^{-1} [/mm] wie in Aufgabe 3. Was fällt Ihnen auf?
(d) Berechnen Sie [mm] B^{-1} [/mm] · A · B. Was fällt Ihnen auf?
Meine Ergebnisse:
a) [mm] \lambda_1 [/mm] = 3-1 =2 , [mm] \lambda_2 [/mm] = 3+1 =4
b) [mm] \vec e_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}t\\ t \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec e_1^{0} [/mm] = [mm] 1/t\wurzel{2} \begin{pmatrix}t\\ t \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec e_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}t\\ -t \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec e_2^{0} [/mm] = [mm] 1/t\wurzel{2} \begin{pmatrix}t\\ -t \end{pmatrix}
[/mm]
< [mm] \begin{pmatrix}t\\ t \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}t\\ -t \end{pmatrix}> [/mm] = 0 ->sind normal zueinander
c) B= [mm] \begin{pmatrix}t & t\\ t &-t \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] B^{-1}= \begin{pmatrix}\wurzel{2}/2 & \wurzel{2}/2 \\ \wurzel{2}/2 &-\wurzel{2}/2 \end{pmatrix}
[/mm]
d) [mm] B^{-1}*A*B= \begin{pmatrix}\wurzel{2}/2 & \wurzel{2}/2 \\ \wurzel{2}/2 &-\wurzel{2}/2 \end{pmatrix}*=\begin{pmatrix}3 & -1 \\-1 & 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}t & t\\ t &-t \end{pmatrix}
[/mm]
Stimmen die Ergebnisse von a-c ??
Was sollte ich bei d) erkennen ??????
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen würde
Grüße Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Peter
> Hallo,
> ich habe eine Frage zur folgender Aufgabe:
> 5. Es sei A [mm]=\begin{pmatrix}3 & -1 \\-1 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
> .
> (a) Wie lauten die Eigenwerte von A?
> (b) Ermitteln Sie zu den Eigenwerten die zugehörigen
> Eigenvektoren.
> Wie lauten die entsprechenden normierten Eigenvektoren
> [mm]\vec[/mm] e1
> und [mm]\vec[/mm] e2.
> Was können Sie über die Lage der beiden Eigenvektoren
> aussagen? (Vergleichen Sie
> das Ergebnis mit dem der vorigen Aufgabe.)
> (c) Bilden Sie aus den Eigenvektoren die Matrix B, indem
> Sie die normierten Eigenvektoren
> spaltenweise eintragen. Ermitteln Sie dann [mm]B^{-1}[/mm] wie in
> Aufgabe 3. Was fällt Ihnen auf?
> (d) Berechnen Sie [mm]B^{-1}[/mm] · A · B. Was fällt Ihnen auf?
>
> Meine Ergebnisse:
> a) [mm]\lambda_1[/mm] = 3-1 =2 , [mm]\lambda_2[/mm] = 3+1 =4
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) [mm]\vec e_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}t\\ t \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\vec e_1^{0}[/mm]
> = [mm]1/t\wurzel{2} \begin{pmatrix}t\\ t \end{pmatrix}[/mm]
>
Ich weiss jetzt nicht so genau, warum du "Hoch null" schreibst. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ich würde eher für einen nichtnormierten Eigenvektor [mm] $e_1'$ [/mm] schreiben, und dann für den normierten [mm] $e_1$
[/mm]
Dann weiss ich nicht so recht, was denn dein $t_$ noch zu suchen hat. Das kürzt sich doch weg!
Also einfach: [mm] $e_1=\vektor{1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2}}$
[/mm]
Oder auch: [mm] $e_1=\vektor{\wurzel{2}/2 \\ \wurzel{2}/2}$
[/mm]
> [mm]\vec e_2[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}t\\ -t \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\vec e_2^{0}[/mm]
> = [mm]1/t\wurzel{2} \begin{pmatrix}t\\ -t \end{pmatrix}[/mm]
>
Hier gilt das Gleiche wie oben. Ich würde noch darauf achten, dass die Orientierung erhalten bleibt. Also statt
[mm] $e_2=\vektor{\wurzel{2}/2 \\ -\wurzel{2}/2}$
[/mm]
würde ich eher
[mm] $e_2=\vektor{-\wurzel{2}/2 \\ \wurzel{2}/2}$
[/mm]
nehmen.
> < [mm]\begin{pmatrix}t\\ t \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}t\\ -t \end{pmatrix}>[/mm]
> = 0 ->sind normal zueinander
>
> c) B= [mm]\begin{pmatrix}t & t\\ t &-t \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]B^{-1}= \begin{pmatrix}\wurzel{2}/2 & \wurzel{2}/2 \\ \wurzel{2}/2 &-\wurzel{2}/2 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
Hier hat natürlich das $t_$ auch nichts mehr zu suchen.
Nach deiner Lösung also:
[mm] $B=\begin{pmatrix}\wurzel{2}/2 & \wurzel{2}/2\\ \wurzel{2}/2 &-\wurzel{2}/2 \end{pmatrix}$
[/mm]
Nach meiner obigen Anmerkung aber eher:
[mm] $B=\begin{pmatrix}\wurzel{2}/2 & -\wurzel{2}/2 \\ \wurzel{2}/2 &\wurzel{2}/2 \end{pmatrix}$
[/mm]
Diese Matrix hat nämlich wie die Matrix $A_$ eine positive Determinante.
Dann ergibt sich:
[mm] $B^{-1}=\begin{pmatrix}\wurzel{2}/2 & \wurzel{2}/2\\ -\wurzel{2}/2 &\wurzel{2}/2 \end{pmatrix}$
[/mm]
> d) [mm]B^{-1}*A*B= \begin{pmatrix}\wurzel{2}/2 & \wurzel{2}/2 \\ \wurzel{2}/2 &-\wurzel{2}/2 \end{pmatrix}*=\begin{pmatrix}3 & -1 \\-1 & 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}t & t\\ t &-t \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Stimmen die Ergebnisse von a-c ??
> Was sollte ich bei d) erkennen ??????
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen würde
> Grüße Peter
>
Ich schlage vor, dass du d) nochmals durchrechnest. Vielleicht fällt dir dann etwas auf? Du musst aber schon ausmultiplizieren, sonst wird wohl nix mit auffallen! 
Schreibe uns doch einfach dein Ergebnis. Wir finden dann sicher schon heraus, was es da auffälliges zu entdecken gibt. Ich denke aber, dass du das selber auch merkst! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hallo,
danke für deine Hilfe .
Das das t rausfliegt habe ich leider nicht gesehen :-( .
Zu der hoch Null kann ich nur sagen, dass ich das so beigebracht bekommen hab.
danke für deinen support
Grüße Peter
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Hallo,
ich habe vergessen die Ergebnisse zu posten
[mm] B^{-1}*A*B= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] = E
Stimmen die Ergenisse?
danke
Grüße Peter
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![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]"){kind=small}
Da bekommst du wunderschön eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten in der Diagonalen und du behauptest die wäre gleich E? Also da die Diagonaleinträge verschieden sind ist das oben falsch und selbst wenn die Lösung [mm] \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} [/mm] lauten würde, wäre sie gleich aE und nicht gleich E. Mit solchen Sachen musst du vorsichtig sein. Also die erste Matrix ist das ganze Ergebnis das du bekommen sollst. 