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Hallo,
ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
(Die fettgedruckten Zeichen sind Vektoren. Ich hab es mit einen Pfeil probiert, aber der wurde immer neben den Buchstaben, anstatt über den Buchstaben , angezeigt)
1.) Bestimmen Sie den Eigenvektor
Eigenvektor A* x = [mm] \lambda* [/mm] x [mm] (\lambda \in \IR)
[/mm]
A* x - [mm] \lambda [/mm] * x = x
(A- [mm] \lambda [/mm] * E) x = 0
4 1 -1
A=( 6 5 -1 )
-6 5 -1
Mein Ansatz:
| A- [mm] \lambda [/mm] *E| = [mm] \vmat{ 4- \lambda & 1 & -1
\\6 & 5- \lambda & -1 \\ -6 & 5 & -1- \lambda }
[/mm]
Eigenwerte: [mm] \lambda1=4
[/mm]
[mm] \lambda2=6
[/mm]
[mm] \lambda3=-2
[/mm]
Ab da weiss ich nicht mehr, wie ich weiterrechnen soll?
Soll ich bei |A- [mm] \lambda [/mm] *E| immer ein L einsetzen und dann die
Determinante bestimmen??
Aber dann bekomme ich doch keine Vektoren raus???
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen würde
Grüße Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Peter!
> Hallo,
> ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
> (Die fettgedruckten Zeichen sind Vektoren. Ich hab es mit
> einen Pfeil probiert, aber der wurde immer neben den
> Buchstaben, anstatt über den Buchstaben , angezeigt)
>
> 1.) Bestimmen Sie den Eigenvektor
>
> Eigenvektor A* x = [mm]\lambda*[/mm] x [mm](\lambda \in \IR)[/mm]
>
> A* x - [mm]\lambda[/mm] * x = x
> (A- [mm]\lambda[/mm] * E) x = 0
> 4 1 -1
> A=( 6 5 -1 )
> -6 5 -1
> Mein Ansatz:
> | A- [mm]\lambda[/mm] *E| = [mm]\vmat{ 4- \lambda & 1 & -1
\\6 & 5- \lambda & -1 \\ -6 & 5 & -1- \lambda }[/mm]
>
> Eigenwerte: [mm]\lambda1=4[/mm]
> [mm]\lambda2=6[/mm]
> [mm]\lambda3=-2[/mm]
Die Eigenwerte sollten schoneinmal stimmen. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") So, und nun machst du folgendes:
Du setzt nach und nach die Eigenwerte [mm] ($\lambda_i$, [/mm] $i=1,2,3$ ) ein und löst dann die Gleichung:
[mm] $(A-\lambda_i*I_3)*\vec{x}=0$ [/mm] mit [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in \IR^3$ [/mm] und [m]I_3= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1}[/m] ( [mm] $\leftarrow$ mein $I_3$ ist dein $E$).
Ich rechne es dir mal für $\lambda_1=4$ vor. Dafür gilt:
[/mm] [mm](A-\lambda_1*I_3)*\vec{x}=\pmat{0 & 1 & -1 \\ 6 & 1 & -1\\-6 & 5 &-5 }*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}[/mm].
Also folgt:
[mm](A-\lambda_1*I_3)*\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm]\pmat{0 & 1 & -1 \\ 6 & 1 & -1\\-6 & 5 &-5 }*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\0\\0}[/mm]
Wir erhalten drei Gleichungen:
(i) [mm] $x_2-x_3=0$
[/mm]
(ii) [mm] $6x_1+x_2-x_3=0$
[/mm]
(iii) [mm] $-6x_1+5x_2-5x_3=0$
[/mm]
Setzt man (i) in (ii) ein (oder in (iii)), so folgt: [mm] $x_1=0$. [/mm] Dann erhalten wir also als weitere Bedingung nur noch, dass [mm] $x_2=x_3$ [/mm] gelten muss. Daher gilt:
[m]\vec{x} \not=\vektor{0\\0\\0}[/m] (beachte, dass definitionsgemäß ein Eigenvektor nicht der Nullvektor sein darf, siehe auch ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenvektor) ist ein Eigenvektor zu [mm] $\lambda_1$ [/mm] genau dann, wenn gilt:
[mm] $\vec{x}=\vektor{0\\r\\r}$ [/mm] mit einem $r [mm] \in \IR \setminus \{0\}$. [/mm] Bezw.:
[mm] $\vec{x}\in \IR^3$ [/mm] ist genau dann ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda_1=4$, [/mm] wenn gilt:
[mm]\vec{x} \in \left\{\vektor{0\\r\\r}:\;r \in \IR \setminus\{0\}\right\}[/mm].
Schaffst du den Rest nun alleine?
Viele Grüße,
Marcel
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danke
den Rest schaffe ich aleine.
Ich habe nur nicht gewusst, was ich als nächstes machen soll.
thx
Grüße Peter
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Hallo,
kann das Ergebnis stimmen???
Für [mm] \lambda_2 [/mm] =6
[mm] (A-\lampba_2 [/mm] *E) = [mm] \Vec{x}=0
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
-2 & 1 & -1 \\ 6 & -1 & -1\\ -6 & 5 & -7\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} [/mm]
(i) [mm] -2x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 -x_3 [/mm] =0
(ii) [mm] 6x_1 -x_2 -x_3 [/mm] =0
[mm] (iii)-6x_1 [/mm] + [mm] 5x_2 [/mm] - [mm] 7x_3 [/mm] =0
(ii)+(iii): [mm] 4x_2 [/mm] - [mm] 8x_3 [/mm] =0 [mm] |+8x_3 [/mm] |/4
[mm] x_2 [/mm] = [mm] 2*x_3 [/mm] (Gleichung : z')
(-3)*(i) + (iii): [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 4x_3 [/mm] =0 [mm] |+4x_3 [/mm] | /4
[mm] x_3 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] /2 (Gleichung : z'')
[mm] x_2 [/mm] in (i): [mm] -2x_1 +2x_3 -x_3 [/mm] =0
[mm] -2x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] =0 [mm] |+2x_1 [/mm] |/2
[mm] x_1= x_3 [/mm] /2 -> [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] /4
[mm] x_1 [/mm] & [mm] x_3 [/mm] in (ii): [mm] (3x_2 [/mm] ) /2 [mm] +x_2 [/mm] -( [mm] x_2 [/mm] /2)=0
[mm] 2x_2 [/mm] =0 -> [mm] x_1 [/mm] =0 -> [mm] x_3=0
[/mm]
--->zu [mm] \lambda_2 [/mm] =6 gibt es keinen Eigenvektor
[mm] \lambda_3 [/mm] =-2:
[mm] (A-\lambda_3 [/mm] *E) = [mm] \Vec{x}=0
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
6 & 1 & -1 \\ 6 & 3 & -1\\ -6 & 5 & -3\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} [/mm]
(i) [mm] 6x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 -x_3 [/mm] =0
(ii) [mm] 6x_1 +3x_2 -x_3 [/mm] =0
[mm] (iii)-6x_1 [/mm] + [mm] 5x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] =0
(ii)+ (iii): [mm] 8x_2 [/mm] - [mm] 4x_3=0 [/mm] -> [mm] x_2= x_3 [/mm] /2
(i)-(ii): [mm] x_2=0 [/mm] -> [mm] x_3=0
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] & [mm] x_3 [/mm] in (ii) [mm] 6x_1=0 [/mm] -> [mm] x_1=0
[/mm]
0
--->zu [mm] \lambda_3 [/mm] =-2 gibt es keinen Eigenvektor
Stimmen die Ergebnisse?
danke
Gruß Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Peter,
tatsächlich gibt es für jeden Eigenwert auch Eigenvektoren. Als Beispiel nochmal der Eigenwert [mm] $\lambda_1=6$:
[/mm]
[mm] $(A-6E)\vec{x}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \pmat{-2 & 1 &-1 & 0\\ 6 & -1 & -1 & 0\\ -6 & 5 & -7 & 0}$
[/mm]
[mm] $\gdw \pmat{ 0 & 2 & -4 & 0\\ 0 & 4 & -8 & 0\\ -6 & 5 & -7&0}$
[/mm]
[mm] $\gdw \pmat{0 & 0 & 0 & 0\\0 & 4 & -8 & 0\\ -6 & 5 & -7 & 0}$
[/mm]
Damit muss man einen Parameter wählen, aus $z=t$ folgt dann $y=2t$ und [mm] $x=\frac{1}{2}t$. [/mm] Für $t=2$ erhält man damit zB [mm] $\vektor{1\\4\\2}$ [/mm] als Eigenvektor zu [mm] $\lambda_1=6$.
[/mm]
Analog müsstest du auch die anderen bestimmen können.
Gruß Max
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ok,
danke
wäre glaub besser gewesen, wenn ich gleich mit der Matrize gerechnet hätte.
Grüße Peter
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]"){kind=small}
!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
