Problem mit der Rangformel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Di 08.02.2005 | | Autor: | Flo123 |
Hallo!
Ich habe folgendes Problem bzgl. der Rangformel.
V,W,X sind endl.-dimensionale K-VR und f: V [mm] \to [/mm] W, g : W [mm] \to [/mm] X linear
Eigentlich war zu zeigen, dass Rang (g [mm] \circ [/mm] f) = Rang f - dim (Bild f [mm] \cap [/mm] Kern g), das ist aber nicht das eigentliche Problem.
Die Rangformel für f wäre ja dim Bild f = dim V - dim Kern f ?!
Als ich versucht hab die Aufgabe zu bearbeiten, hab ich erstmal die Rangformel für g [mm] \circ [/mm] f angewandt, danach gilt ja,
dim Bild g [mm] \circ [/mm] f = dim V - dim Kern g [mm] \circ [/mm] f
falls ich jetzt aber die Rangformel für g|f(V) (g eingeschränkt auf f(V) anwende gilt:
dim Bild g|f(V) = dim f(V) - dim Kern g|f(V)
So jetzt ist aber dim Bild g|f(V) = dim Bild g [mm] \circ [/mm] f und eigentlich müsste auch dim Kern g|f(V) = dim Kern g [mm] \circ [/mm] f sein, das zweite kann aber irgendwie nicht stimmen, da sonst dim V = dim f(V) folgen würde, aber f ja garnicht surjektiv sein muss. Wo mach ich jetzt den Denkfehler ? Wahrscheinlich bei dim Kern g|f(V) = dim Kern g [mm] \circ [/mm] f aber warum ?
Danke schon mal..
Gruß Flo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Di 08.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Flo!
> Eigentlich war zu zeigen, dass Rang (g [mm]\circ[/mm] f) = Rang f -
> dim (Bild f [mm]\cap[/mm] Kern g), das ist aber nicht das
> eigentliche Problem.
Ok, dann beschränke ich mich also nur auf den Denkfehler?
Ist das dann in Ordnung?
(Hoffe schon, denn ich will dir ja nicht den Spaß verderben)
>
> Die Rangformel für f wäre ja dim Bild f = dim V - dim Kern
> f ?!
> Als ich versucht hab die Aufgabe zu bearbeiten, hab ich
> erstmal die Rangformel für g [mm]\circ[/mm] f angewandt, danach gilt
> ja,
>
> dim Bild g [mm]\circ[/mm] f = dim V - dim Kern g [mm]\circ[/mm] f
>
> falls ich jetzt aber die Rangformel für g|f(V) (g
> eingeschränkt auf f(V) anwende gilt:
>
> dim Bild g|f(V) = dim f(V) - dim Kern g|f(V)
>
> So jetzt ist aber dim Bild g|f(V) = dim Bild g [mm]\circ[/mm] f und
> eigentlich müsste auch dim Kern g|f(V) = dim Kern g [mm]\circ[/mm] f
> sein, das zweite kann aber irgendwie nicht stimmen, da
> sonst dim V = dim f(V) folgen würde, aber f ja garnicht
> surjektiv sein muss. Wo mach ich jetzt den Denkfehler ?
> Wahrscheinlich bei dim Kern g|f(V) = dim Kern g [mm]\circ[/mm] f
> aber warum ?
Du hast recht, hier steckt der Fehler !
Also Kern(g [mm]\circ[/mm] f ) sind Vektoren aus V und (Kern g)|f(V) sind Vektoren aus W !! (bitte strikt auseinander halten...)
Wobei Kern(g [mm]\circ[/mm] f ) aus den Elementen besteht, die insgesamt auf Null abgebildet werden , also zum einen diejenigen, die von f auf 0 abgebildet werden (denn g(0)=0) und von denjenigen, die erst durch g auf 0 abgebildet werden. Es müsste also so heißen:
dim Kern(g [mm]\circ[/mm] f)=dim Kern(f) + dim Kern g|f(V)
Alles andere ergibt sich hoffentlich dann auch für dich daraus...
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Di 08.02.2005 | | Autor: | Flo123 |
Hi DaMenge!
Vielen Dnak für die schnelle Antwort, hat mir echt weitergeholfen, hab nicht bedacht, dass die einen ja aus V un die anderen aus W kommen.
Gruß Flo
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