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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Sa 12.03.2005 | | Autor: | MrPink |
Hallo, ich habe folgende Aufgabe mit zugehöriger Lösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich verstehe nur nicht wie man auf den Baum kommt. Die ersten Beiden Spalten sind natürlich klar, aber wie berechnet man den Rest. kann mir das mal jemand für Dumme erklären pls. 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
der Baum stellt die verallgemeinerten k-ten Differenzen dar:
[mm]
\begin{array}{*{20}c}
{x_0 } \hfill & {f_0 \; = \;f\left[ {x_0 } \right]} \hfill & {} \hfill & {} \hfill & {} \hfill \\
{} \hfill & {} \hfill & {f\left[ {x_0 ,\;x_1 } \right]} \hfill & {} \hfill & {} \hfill \\
{x_1 } \hfill & {f_1 \; = \;f\left[ {x_1 } \right]} \hfill & {} \hfill & {f\left[ {x_0 ,\;x_1 ,\;x_2 } \right]} \hfill & {} \hfill \\
{} \hfill & {} \hfill & {f\left[ {x_1 ,\;x_2 } \right]} \hfill & {} \hfill & {} \hfill \\
{x_2 } \hfill & {f_2 \; = \;f\left[ {x_2 } \right]} \hfill & {} \hfill & {} \hfill & {} \hfill \\
\end{array} [/mm]
Die Größen [mm]f\left[ {x_i ,\; \ldots ,\;x_{i + k} } \right][/mm] werden rekursiv definiert:
a) Für die erste Spalte: [mm]f\left[ {x_{i} } \right]\; = \;f_{i}[/mm]
b) Für jede weitere Spalte: [mm]f\left[ {x_ {i} ,\; \ldots ,\;x_{i + k} } \right]\;: = \;\frac{{f\left[ {x_{i + 1} ,\; \ldots ,\;x_{i + k} } \right]\; - \;f\left[ {x_i ,\; \ldots ,\;x_{i + k - 1} } \right]}}
{{x_{i + k} \; - \;x_{i} }}[/mm]
Die Koeffizienzen des Interpolationspolynoms sind dann auf der obersten Schrägzeile zu finden.
Das Interpolationspolynom schreibt sich dann so:
[mm]P(x)\; = \;\sum\limits_{k = 0}^ {n} {f\left[ {x_{0} ,\; \ldots ,\;x_{k} } \right]\;\prod\limits_{j = 0}^{k} {\left( {x\; - \;x_{j} } \right)} } [/mm]
Gruß
MathePower
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