Problem mit Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
undzwar geht es um ein gleichschenkliges Dreieck (c = 60 cm; a = b = 50 cm) wovon ein möglichstgroßes Rechteck herausgeschnitten werden soll (x, y). Letztendlich soll dann angegeben werden, wieviel Prozent Abfall entsteht, was eigentlich kein Problem sein dürfte, sobald man x und y ausgerechnet hat. Ich hab mir das nun so überlegt, dass die Zielfunktion A(Rechteck) = x*y ist. Die Nebenbedingung war mir allerdings noch nicht ganz klar. Habe nur Ansätze hierzu entwickeln können, wie zum Beispiel y = c-2z (z ist das Stückchen, welches sich zwischen den Punkten A und B und der Anfanglinie bzw. Endlinie von y befinden). Ansonsten habe ich h mit dem Satz des Pytagoras ausrechnen können (58,31cm). Weiter komm ich leider nicht, Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Do 14.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> undzwar geht es um ein gleichschenkliges Dreieck (c = 60
> cm; a = b = 50 cm) wovon ein möglichstgroßes Rechteck
> herausgeschnitten werden soll (x, y). Letztendlich soll
> dann angegeben werden, wieviel Prozent Abfall entsteht, was
> eigentlich kein Problem sein dürfte, sobald man x und y
> ausgerechnet hat. Ich hab mir das nun so überlegt, dass die
> Zielfunktion A(Rechteck) = x*y ist. Die Nebenbedingung war
> mir allerdings noch nicht ganz klar. Habe nur Ansätze
> hierzu entwickeln können, wie zum Beispiel y = c-2z (z ist
> das Stückchen, welches sich zwischen den Punkten A und B
> und der Anfanglinie bzw. Endlinie von y befinden).
> Ansonsten habe ich h mit dem Satz des Pytagoras ausrechnen
> können (58,31cm). Weiter komm ich leider nicht, Hilfe!
>
Zunächst einmal eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich werde jetzt nur die Hälfte vom Dreieck betrachten. Da es ja gleichschenklig ist, verdoppelt sich der Flächeninhalt des Rechteckes am Ende nur und ist auch dann maximal, wenn ich in meiner Berechnung das Maximum für die Hälfte ausgerechnet habe.
Für meine Rechteckhälfte habe ich als Flächeninhalt:
$ A = [mm] x_0 [/mm] * [mm] y_0 [/mm] $
Das soll meine Hauptbedingung sein, aus der ich meine Zielfunktion erhalten will. Die Nebenbedingung ist etwas schwierig aufzustellen.
Die Dreiecksseite $a$ liegt bei mir auf der Geraden $g$, die bei mir durch eine Funktion dargestellt werden soll (deshalb auch das eingezeichnete Koordinatensystem). Sie hat die Steigung $m = [mm] \tan \beta [/mm] = [mm] \tan [/mm] ( 90° - [mm] \alpha)$.
[/mm]
Also müssen wir erstmal [mm] $\alpha$ [/mm] bestimmen. Der Kosinussatz sagt für unsere situation:
[mm] $c^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] -2ab [mm] \cos (2\alpha)$ [/mm] mit den Werten eingesetzt also:
$360 [mm] cm^2 [/mm] = 250 [mm] cm^2 [/mm] + [mm] 250cm^2 [/mm] - [mm] 500cm^2\cos(2\alpha)$
[/mm]
Nach [mm] $2\alpha$ [/mm] umgestellt:
[mm] $\cos(2\alpha) [/mm] = [mm] \frac{140cm^2}{500cm^2} [/mm] = 0,28 $
[mm] $\Rightarrow 2\alpha [/mm] = 73,74°$
[mm] $\gdw \alpha [/mm] = 36,87°$
Dann folgt aus der Gleichung für die Steigung von $g$ :
$m= [mm] \tan -(90°-\alpha) [/mm] = [mm] -\tan [/mm] 53,13° = -4/3$
Die Steigung ist also $4/3$. Für die Höhe h erhälst du nach dem Pythagoras: $h = [mm] \sqrt{50^2cm^2-30^2cm^2} [/mm] = 40 cm$ Das ist gleichzeitig der y-Abschnitt meiner Geraden g.
Damit folgt die Geradengleichung für $g$:
$g = [mm] -\frac{4}{3}x [/mm] + 40$ (die Einheiten lasse ich ab sofort weg, wir rechnen jetzt immer in cm!!!)
Was haben wir nun gewonnen? Wir können durch g den Punkt P beschreiben und erhalten dadurch unsere Nebenbedingung:
[mm] $y_0= -\frac{4}{3}x_0 [/mm] + 40$
Setzen wir das in unsere Hauptbedingung ein, so erhalten wir die Zielfunktion:
[mm] $A(x_0) [/mm] = [mm] x_0 [/mm] * [mm] \left(-\frac{4}{3}x_0 + 40\right) [/mm] = [mm] -\frac{4}{3}x_0^2 [/mm] + [mm] 40x_0$
[/mm]
Ab sofort solltest du allein weiterrechnen, du willst ja auch noch was tun. ^^
Schreibe hier dann mal deine Lösungsvorschläge auf, wir werden uns das mal ansehen. ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
Lieber Gruß,
Micha 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
