Problem bei Exp Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Cycek |
| Aufgabe | Gegeben ist die Schar von Funktionen [mm] f_{t}:R \to [/mm] R durch [mm] f_{t}(x)=\bruch{x}{t}+e^{-tx} [/mm] mit t [mm] \in R^{+}
[/mm]
c) Für welchen t-Wert wird der x-Wert des Tiefpunktes am größten? Bestimme den dazugehörigen y-Wert
d)Graph [mm] f_{t}, [/mm] die Asymptote, die y-Achse und die gerade g mit der Gleichung x = u, u > 0, umschließen ein Flächenstück. Berechne dessen Flächeninhalt [mm] A_{u} [/mm] und bestimme den Grenzwert von [mm] A_{u} [/mm] für u [mm] \to \infty [/mm] |
Also bei Aufgabenteil c) hab ich mir überlegt, dass ich nach t ableiten muss und dann = 0 setze und somit das max. von t zu erhalten. (bin mir aber nicht sicher ob das so richtig sein soll)
Aber bei Aufgabenteil d) habe ich keine Ahnung wie der Ansatz lauten könnte. Das einzige was ich weiß ist, dass man die Asymptote ausrechnen und dann integrieren muss.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mo 04.06.2007 | | Autor: | uwe-b |
Also, du musst erstmal den Tiefpunkt in Abhängigkeit von t bestimmen.
Also [mm] \frac{df}{dx} [/mm] = f'(x) = [mm] \frac{1}{t} [/mm] - t [mm] \cdot e^{-tx}.
[/mm]
und f''(x) = [mm] t^2 \cdot e^{-tx}
[/mm]
f'(x) = 0
[mm] \gdw \frac{1}{t} [/mm] - t [mm] \cdot e^{-tx} [/mm] = 0
[mm] \gdw \frac{1}{t} [/mm] = t [mm] \cdot e^{-tx}
[/mm]
[mm] \gdw \frac{1}{t^2} [/mm] = [mm] e^{-tx}
[/mm]
[mm] \gdw \log{(\frac{1}{t^2})} [/mm] = -tx
[mm] \gdw [/mm] - [mm] \frac{\log{(\frac{1}{t^2})}}{t} [/mm] = x
Du musst jetzt mit f''(x) zeigen, dass dieser x-Wert nen Tiefpunkt ist.
Dann willst du doch, dass dieser x-Wert am größten ist. Also:
- [mm] \frac{\log{(\frac{1}{t^2})}}{t} [/mm] = x(t)
Und dann hiervon das Maximum bestimmen.
also x'(t) bestimmen (nach t ableiten) und x'(t) = 0 ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Cycek |
Ok, hab ich also nich so richtig gedacht^^ ... schon mal danke
kann aber jemand was mit Aufgabe d) anfangen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mo 04.06.2007 | | Autor: | es600 |
Hallo
Wie man die Fläche eines Graphen berechnet solltetst du in der 13 wissen. Mit Integralrechnung.Also Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen.
Da du eine Begrenzung hast, brauchst du für die untere grenze x=0 einsetzen. Die Asympotote liegt bei 1 denn exp(-x*unendlich) =1 und dann musst du davon das Integral bestimmen und die Diferenz bilden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Cycek |
| Aufgabe | Ja ich weiß, dass das über die Grenzen berechnet werden muss. Jedoch hat mich das mit der Geraden x = u ein wenig verwirrt. Also müsste der Ansatz lauten:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x}{t}+e^{-tx}-u}
[/mm]
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Irgendwie komisch das Integral ... kann das aber sein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Mo 04.06.2007 | | Autor: | uwe-b |
Also erstmal gilt nicht exp(-x*unendlich) = 1 sondern exp(-x*unendlich) = 0
Dass heißt aber nicht, dass 0 ne Asymptote, denn es gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow \pm \infty} [/mm] f(x) = [mm] \infty
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
soweit ich gerade gesehen habe, sollte die Asymptote eine Parallele zur x-Achse sein mit y=1.
Also wirst du einfach die Differenz von deiner Funktionenschar und der Geraden y=1 bilden müssen (also einfach ein -1 hinter deiner Funktion), dann Stammfunktion bilden etc.
Das mit x=u ist eine parallele zur y-Achse, sprich: Diese Gerade steht senkrecht auf der x-Achse, und gibt somit die obere (oder untere) Integrationsgrenze an!
u gehört damit an eine der Grenzen deines Integrals.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mo 04.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Assymptote ist die Gerade y=x/t, denn für große x wird der zweite Summand beliebig klein.
die Gerade x=u ist ne Parallele zur y-Achse, du kannst von f(x) also nicht einfaxh u abziehen, sondern musst von 0 bis u integrieren. (am Ende dann U gegen unendlich) also zeichne es auf, und überleg wie du die Fläche zwischen f und der Ass. rauskriegst von 0 bis u!
Übrigens, skizzen helfen bei so aufgaben immer! erst dann werden sie klar. Auch ich mach mir bei so ner Frage kurz ne Skizze und fang dann erst an zu denken!
Gruss leduart
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