Problem bei Differentation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Sei $f$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion auf [mm] $\IR^2$. [/mm] $f$ hänge nur vom Abstand von $(x,y)$ zum Koordinantenurprung ab, d.h.
$f(x,y)=g(r)$ mit [mm] $r=r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$.
[/mm]
Zeigen Sie, für [mm] $(x,y)\not=(0,0)$ [/mm] gilt:
[mm] $D_1D_1f+D_2D_2f=\frac{1}{r}g'(r)+g''(r)$
[/mm]
Hierbei sei [mm] $D_1f=\frac{\delta f}{\delta x}$, $D_2f=\frac{\delta f}{\delta y}$ [/mm] und [mm] $g'(r)=\frac{\delta g}{\delta r}$. [/mm] |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe ein Problem. Ich weiß leider nicht wie die Funktionen aussehen die ich ableiten muss.
$D_1D_1f$ wird wohl die zweite Ableitung von f nach x sein und $D_2D_2f$ analog für y. Aber ich weiß nicht wie die Funktionen $f(x,y)$ und $g(r)$ lauten.
Schonmal danke für Hilfe/Tipps.
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Hallo,
> Sei [mm]f[/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion auf
> [mm]\IR^2[/mm]. [mm]f[/mm] hänge nur vom Abstand von [mm](x,y)[/mm] zum
> Koordinantenurprung ab, d.h.
> [mm]f(x,y)=g(r)[/mm] mit [mm]r=r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}[/mm].
>
> Zeigen Sie, für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] gilt:
> [mm]D_1D_1f+D_2D_2f=\frac{1}{r}g'(r)+g''(r)[/mm]
>
> Hierbei sei [mm]D_1f=\frac{\delta f}{\delta x}[/mm],
> [mm]D_2f=\frac{\delta f}{\delta y}[/mm] und [mm]g'(r)=\frac{\delta g}{\delta r}[/mm].
>
> Hallo,
>
> ich habe bei dieser Aufgabe ein Problem. Ich weiß leider
> nicht wie die Funktionen aussehen die ich ableiten muss.
> [mm]D_1D_1f[/mm] wird wohl die zweite Ableitung von f nach x sein
"Leider ja" - Das finde ich gar keine günstige Schreibweise, denn es könnte genausogut [mm] D_1*D_1 [/mm] sein. Von der Rechnung her, muss es wohl aber die zweite Ableitung sein.
> und [mm]D_2D_2f[/mm] analog für y. Aber ich weiß nicht wie die
> Funktionen [mm]f(x,y)[/mm] und [mm]g(r)[/mm] lauten.
>
> Schonmal danke für Hilfe/Tipps.
Berechne nach der verallgemeinerten Kettenregel
[mm] \frac{\partial}{\partial x}f(r=\sqrt{x^2+y^2}) [/mm] und leite den entstandenen Ausdruck noch einmal ab.
Ich mache mal den Anfang:
[mm] \frac{\partial}{\partial x}f(r=\sqrt{x^2+y^2})=\frac{\partial f}{\partial r}*\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial r}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
[/mm]
Das musst du nun noch einmal ableiten (Produktregel beachten). Analog machst du das mit den Ableitungen nach y. Beachte, dass das ganze symmetrisch ist, da ändert sich also gar nicht viel bei den Ableitungen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Trolli |
> Hallo,
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> > Sei [mm]f[/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion auf
> > [mm]\IR^2[/mm]. [mm]f[/mm] hänge nur vom Abstand von [mm](x,y)[/mm] zum
> > Koordinantenurprung ab, d.h.
> > [mm]f(x,y)=g(r)[/mm] mit [mm]r=r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}[/mm].
> >
> > Zeigen Sie, für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] gilt:
> > [mm]D_1D_1f+D_2D_2f=\frac{1}{r}g'(r)+g''(r)[/mm]
> >
> > Hierbei sei [mm]D_1f=\frac{\delta f}{\delta x}[/mm],
> > [mm]D_2f=\frac{\delta f}{\delta y}[/mm] und [mm]g'(r)=\frac{\delta g}{\delta r}[/mm].
>
> >
> > Hallo,
> >
> > ich habe bei dieser Aufgabe ein Problem. Ich weiß leider
> > nicht wie die Funktionen aussehen die ich ableiten muss.
> > [mm]D_1D_1f[/mm] wird wohl die zweite Ableitung von f nach x
> sein
> "Leider ja" - Das finde ich gar keine günstige
> Schreibweise, denn es könnte genausogut [mm]D_1*D_1[/mm] sein. Von
> der Rechnung her, muss es wohl aber die zweite Ableitung
> sein.
> > und [mm]D_2D_2f[/mm] analog für y. Aber ich weiß nicht wie die
> > Funktionen [mm]f(x,y)[/mm] und [mm]g(r)[/mm] lauten.
> >
> > Schonmal danke für Hilfe/Tipps.
>
> Berechne nach der verallgemeinerten Kettenregel
> [mm]\frac{\partial}{\partial x}f(r=\sqrt{x^2+y^2})[/mm] und leite
> den entstandenen Ausdruck noch einmal ab.
>
> Ich mache mal den Anfang:
> [mm]\frac{\partial}{\partial x}f(r=\sqrt{x^2+y^2})=\frac{\partial f}{\partial r}*\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial r}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
Leite ich diese Funktion dann nach x ab? Dann käme \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} raus?
Aber eigentlich steht ja da, das nach r abgeleitet wird.
Oder müsste es lauten $\frac{\partial f}{\partial r}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=r'*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}$
> Das musst du nun noch einmal ableiten (Produktregel
> beachten). Analog machst du das mit den Ableitungen nach y.
> Beachte, dass das ganze symmetrisch ist, da ändert sich
> also gar nicht viel bei den Ableitungen...
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Hi,
> Leite ich diese Funktion dann nach x ab? Dann käme
> [mm]\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}[/mm] raus?
> Aber eigentlich steht ja da, das nach r abgeleitet wird.
> Oder müsste es lauten [mm]\frac{\partial f}{\partial r}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=r'*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}[/mm]
Wie gesagt, du leitest den gesamten Ausdruck der ersten Ableitung noch einmal nach x ab. Produktregel beachten.
[mm] \left(\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)_x=\left(f_{rr}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+f_r*\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)_x
[/mm]
Den letzten Faktor solltest du selbstständnig noch einmal nach x ableiten.
>
> > Das musst du nun noch einmal ableiten (Produktregel
> > beachten). Analog machst du das mit den Ableitungen nach y.
> > Beachte, dass das ganze symmetrisch ist, da ändert sich
> > also gar nicht viel bei den Ableitungen...
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Trolli |
> Hi,
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> > Leite ich diese Funktion dann nach x ab? Dann käme
> > [mm]\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}[/mm] raus?
> > Aber eigentlich steht ja da, das nach r abgeleitet
> wird.
> > Oder müsste es lauten [mm]\frac{\partial f}{\partial r}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=r'*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}[/mm]
>
> Wie gesagt, du leitest den gesamten Ausdruck der ersten
> Ableitung noch einmal nach x ab. Produktregel beachten.
> [mm]\left(\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)_x=\left(f_{rr}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+f_r*\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)_x[/mm]
>
Ok, also lautet es:
$ [mm] \frac{\partial}{\partial x}f(r=\sqrt{x^2+y^2})=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{\partial r}{\partial x}=\left(\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)_x=\left(f_{rr}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\cdot{}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+f_r\cdot{}\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$
[/mm]
und
$ [mm] \frac{\partial}{\partial y}f(r=\sqrt{x^2+y^2})=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{\partial r}{\partial y}=\left(\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)_y=\left(f_{rr}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\cdot{}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+f_r\cdot{}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$
[/mm]
Hast du es so gemeint?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Trolli |
Die Ableitung ist falsch :(
Konnte es nicht mehr editieren. Der Nenner lautet natürlich [mm] $(x^2+y^2)^{3/2}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Richie1401 |
> Die Ableitung ist falsch :(
> Konnte es nicht mehr editieren. Der Nenner lautet
> natürlich [mm](x^2+y^2)^{3/2}[/mm]
Ja, das ist korrekt.
Dennoch ist obige Kette falsch. Du schreibst, dass du die erste ABleitung bildest, hast aber die zweite notiert. Da stimmen die = also nciht.
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Hallo Trolli,
> > Hi,
> >
> >
> > > Leite ich diese Funktion dann nach x ab? Dann käme
> > > [mm]\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}[/mm] raus?
> > > Aber eigentlich steht ja da, das nach r abgeleitet
> > wird.
> > > Oder müsste es lauten [mm]\frac{\partial f}{\partial r}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=r'*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}[/mm]
>
> >
> > Wie gesagt, du leitest den gesamten Ausdruck der ersten
> > Ableitung noch einmal nach x ab. Produktregel beachten.
> > [mm]\left(\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)_x=\left(f_{rr}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+f_r*\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)_x[/mm]
>
> >
>
> Ok, also lautet es:
> [mm]\frac{\partial}{\partial x}f(r=\sqrt{x^2+y^2})=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{\partial r}{\partial x}=\left(\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)_x=\left(f_{rr}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\cdot{}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+f_r\cdot{}\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}[/mm]
>
> und
> [mm]\frac{\partial}{\partial y}f(r=\sqrt{x^2+y^2})=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{\partial r}{\partial y}=\left(\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)_y=\left(f_{rr}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\cdot{}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+f_r\cdot{}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}[/mm]
>
> Hast du es so gemeint?
nein, schau dir obiges doch noch einmal genau an. Das kann schon gar nicht stimmen.
Es ist doch f(x,y)=g(r), mit [mm] r=\sqrt{x^2+y^2}
[/mm]
Berechnen müssen wir
[mm] \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, [/mm] da f=g ist, können wir also äquivalent schreiben: [mm] \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}
[/mm]
Darauf wenden wir nun die Kettenregel an. Wir brauchen insgesamt die zweite Ableitung. Also leiten wir das erste mal ab. Das habe ich oben ja schon getan.
[mm] \frac{\partial}{\partial x}f(r=\sqrt{x^2+y^2})=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
[/mm]
Nun müssen wir noch einmal ableiten:
[mm] \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
[/mm]
Hier wendne wir wie bereits erwähnt die Produktregel an. Erklärung zur Notation: [mm] (\cdot)_x [/mm] bedeutet, dass der KLammerausdruck noch nach x differenziert wird, also [mm] \frac{\partial f}{\partial r}\equiv{}f_r
[/mm]
Also
[mm] \left(\frac{\partial f}{\partial r}\cdot{}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)_x=f_{rr}*r_x*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+f_r\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)_x
[/mm]
Berechne nun [mm] r_x [/mm] und den letzten Ausdruck, und fasse zusammen!!!
nach Aufgabenstellung gilt außerdem [mm] f_rr\equiv{g''}, [/mm] wodurch du dann die Gleichheit bekommst, also genau das, was du nachweisen solltest.
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