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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Problem Matrizen
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Problem Matrizen: Bitte helft mir!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Do 25.11.2004
Autor: kleines-sax

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich nicht zu rande komme

Sei A,B [mm] \in \IR [/mm] und [mm] E_{n} [/mm] die Einheitsmatrix in  [mm] \IR^{nxn}. [/mm]
a) Sei A+B regulär. Man zeige  
     A-A(A+B)^(-1)A=B-B(A+B)^(-1)B.

b) Es gelte [mm] A^3+3A^2+2A+5*E_{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass A invertierbar ist.

c) Sei [mm] E_{n}-AB [/mm] regulär. Man zeige
    [mm] (E_{n}-AB)^{-1}=E_{n}+A(E_{n}-BA)^{-1} [/mm]

Könnt ihr mir da helfen, wäre super!
        
Bezug
Problem Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:00 Do 25.11.2004
Autor: kleines-sax

mir ist da ein Fehler unterlaufen bei c)

es muss heißen:
[mm] (E_{n}-AB)^{-1}=E_{n}+A(E_{n}-BA)^{-1}B [/mm]
Bezug
        
Bezug
Problem Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Fr 26.11.2004
Autor: Stefan

Hallo!

Ich rechne dir die a) mal vor. Bei der b) fehlt etwas (dort steht keine Gleichung) und die c) versuchst du bitte selber und postest wenigstens einen Rechenversuch.

zur a):

Aus

[mm] $(A+B)(A+B)^{-1} [/mm] = [mm] E_n$ [/mm]

folgt:

[mm] $A(A+B)^{-1} [/mm] + [mm] B(A+B)^{-1} [/mm] = [mm] E_n [/mm] = [mm] AA^{-1}$. [/mm]

Multipliziert man von rechts mit $A$, so erhält man:

[mm] $A(A+B)^{-1}A [/mm] + [mm] B(A+B)^{-1}A [/mm] = A$.

Es folgt also:

(1) [mm] $A-A(A+B)^{-1}A [/mm] = [mm] B(A+B)^{-1}A$. [/mm]

Aber es gilt auch:

(2) $B = [mm] B(A+B)^{-1}(A+B) [/mm] = [mm] B(A+B)^{-1}A [/mm] + [mm] B(A+B)^{-1}B$. [/mm]

Aus (1) und (2) folgt:

$A - [mm] A(A+B)^{-1}A [/mm] = B - [mm] B(A+B)^{-1}B$. [/mm]

Ganz schön tricky... ;-)

Liebe Grüße
Stefan
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Problem Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Fr 26.11.2004
Autor: kleines-sax

ja tut mir leid bei b) müßte stehen

[mm] A^3+3A^2+2A+5E_{n}=0 [/mm]

also ich denke man muss hier zeigen das [mm] AA^{-1}=E_{n} [/mm] gilt
dazu könnte man ja [mm] 5E_{n} [/mm] auf die andere zeige bringen und durch -5 teilen.

[mm] -1/5A^3-3/5A^2-2/5A=E_{n} [/mm]
jetzt könnte man ja A auklammern, aber richtig weiterhilft mir das nicht.
Bezug
                        
Bezug
Problem Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Fr 26.11.2004
Autor: Stefan

Hallo!

>  ja tut mir leid bei b) müßte stehen
>  
> [mm]A^3+3A^2+2A+5E_{n}=0 [/mm]
>  
> also ich denke man muss hier zeigen das [mm]AA^{-1}=E_{n}[/mm]
> gilt
>  dazu könnte man ja [mm]5E_{n}[/mm] auf die andere zeige bringen und
> durch -5 teilen.
>  
> [mm]-1/5A^3-3/5A^2-2/5A=E_{n} [/mm]

Bis dahin: [klatsch]

>  jetzt könnte man ja A auklammern, aber richtig weiterhilft
> mir das nicht.

Doch, natürlich! :-)

Es gilt:

$A [mm] \cdot \left(-\frac{1}{5}A^2 - \frac{3}{5}A - \frac{2}{5} E_n \right) [/mm] = [mm] E_n$, [/mm]

d.h. es gibt eine Matrix $B$ mit [mm] $AB=E_n$, [/mm] nämlich:

$B=   [mm] -\frac{1}{5}A^2 [/mm] - [mm] \frac{3}{5}A [/mm] - [mm] \frac{2}{5} E_n$. [/mm]

Dies bedeutet aber doch gerade, dass $A$ invertierbar ist, mit $B$ als inverser Matrix [mm] $A^{-1}$. [/mm]

Leieb Grüße
Stefan

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Bezug
Problem Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:48 Fr 26.11.2004
Autor: kleines-sax

ahhh alles klar, dankeschön

und bei c) da muss ich sicherlich wieder mit irgendwas multiplizieren, hab es noch nicht raus gefunden, werde das aber noch weiter versuchen.

nochmal danke für die hilfe
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