Problem: Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Vannie |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
Hallo an alle :),
Ich habe ein Problem bei einer Extremwertaufgabe und weiß einfach nicht weiter. Die Aufgabe lautet wie folgt:
Gegeben ist [mm] f_t(x)=3x^2-12x+4t^2-6t[/mm] [mm]t \in \IR[/mm]
Für welchen t-Wert ist die y-Koordinate des Tiefpunktes am kleinsten?
Mein Ansatz lautet so:
[mm] f'_t(x)=6x-12[/mm]
[mm] f''_t(x)=6[/mm]
Für Tiefpunkt muss gelten:
[mm] f'_t(x)=0[/mm]
[mm] f''_t(x)>0[/mm]
Jetzt habe ich die Extremstelle ermittelt:
[mm] f'_t(x)=0 \gdw
6x-12 = 0
x_1=2[/mm]
Dann habe ich [mm]f_t(2)[/mm] ausgerechnet und kam auf folgendes:
[mm]f_t(2)=-12+4t^2-6t[/mm]
[mm] \Rightarrow T_t(6 | -12+4t^2-6t)[/mm]
Und jetzt muss ich ja noch t bestimmen, sodass die y-Koordinate des Tiefpunktes am kleinsten ist. Meine Idee wäre, dass
[mm]f(t)=-12+4t^2-6t[/mm]
sozusagen eine neue Funktion ist, von der ich dann das Minimum ausrechne...Also erst die Ableitungen bilden und dann die Stelle von t ausrechnen, an der ein Minimum vorliegt. Da bin ich dann auf [mm] \bruch{6}{8}[/mm] gekommen..Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass man so an den gesuchten t-Wert herankommt.
Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke im Voraus an alle, die sich die Mühe machen :). Schönen Abend noch...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Do 23.06.2005 | | Autor: | Vannie |
Hallo Loddar,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Stimmt..das Kürzen vergess ich zu oft ;).
Ist es für den Funktionswert rein formal gesehen besser, wenn ich es so: [mm] f( \bruch{3}{4})=-12+4(\bruch{3}{4})^2-6(\bruch{3}{4})=-14,25[/mm] aufschreibe, oder wenn ich es so aufschreibe:
[mm]f_\bruch{3}{4}(2)=3*2^2-12*2+4(\bruch{3}{4})^2-6(\bruch{3}{4})=-14,25[/mm]
Und der Tiefpunkt mit der kleinsten Y-Koordinate wäre dann dieser, oder?
[mm]T_ \bruch{3}{4}(2 | -14,25][/mm]
Ansonsten noch einmal Vielen Dank :).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Do 23.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vannie!
> Ist es für den Funktionswert rein formal gesehen besser,
> wenn ich es so: [mm]f( \bruch{3}{4})=-12+4(\bruch{3}{4})^2-6(\bruch{3}{4})=-14,25[/mm]
> aufschreibe, oder wenn ich es so aufschreibe:
>
> [mm]f_\bruch{3}{4}(2)=3*2^2-12*2+4(\bruch{3}{4})^2-6(\bruch{3}{4})=-14,25[/mm]
Ich selber würde wohl die 2. Variante favorisieren!
Allerdings wäre es auf jeden Fall günstiger, die Funktion, mit der Du das t berechnet hast, nicht mit [mm] $\red{f}(x)$ [/mm] zu benennen, sondern vielleicht $g(x)$, um Verwechslungen mit der Ausgangsfunktion [mm] $f_t(x)$ [/mm] zu vermeiden!
> Und der Tiefpunkt mit der kleinsten Y-Koordinate wäre dann
> dieser, oder?
>
> [mm]T_ \bruch{3}{4}(2 | -14,25)[/mm]
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Gruß
Loddar
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Prima! Alles richtig gemacht!
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