Primzahlen der Form 4k+1 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 So 29.06.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | (a) Geben Sie 7 Primzahlen der Form $4k+1$ mit [mm] $k\in\mathbb{N}$ [/mm] an.
(b) Beweisen Sie direkt ohne den Primzahlsatz von Dirichlet, dass es unendlich viele Primzahlen der Form $4k+1$ gibt. (Betrachten Sie zu vorgegebenen Primzahlen [mm] $p_1,p_2,...,p_r$ [/mm] die Zahl [mm] $x:=4(p_1p_2\ldots p_r)^2+1$ [/mm] |
Hallo zusammen,
(a) ist trivial, für $k=1,3,4,5,7,9,10$ ergeben sich Primzahlen.
Bei (b) würde ich vorgehen wie beim Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen. Die Zahl $x$ besitzt einen kleinsten positiven Teiler $m$, der prim ist. Angenommen $m$ stimme mit 2 oder einer der Primzahlen [mm] $p_1...p_r$ [/mm] überein. Dann teilt $m$ auch [mm] $4(p_1p_2\ldots p_r)^2$ [/mm] und man erhält wegen [mm] $m|x-4(p_1p_2\ldots p_r)^2=1$ [/mm] einen Widerspruch zu $m>0$. Ich erhalte also eine neue Primzahl $m$.
Nun hier meine Fragen:
1. Sollte ich diesen Lösungsweg weiter verfolgen und
2. wie kann ich nun zeigen, dass diese Primzahl wieder von der Form $4k+1$ ist?
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 So 29.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei a) ist 5 falsch!
b) würd ich auch so machen! zur 2ten [mm] Frage,(p1*p2..)^2 [/mm] ist doch ne natürliche Zahl k,
Bisher hast du das quadrat nicht beachtet!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Mo 30.06.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo,
zu zeigen bleibt ja lediglich, dass der zu den ersten $r$ Primzahlen verschiedene kleinste Teiler von $x$ als $4k+1$ dargestellt werden kann. Mit dem kleinen Satz von Fermat gilt jedoch, dass wenn $p$ eine ungerade Primzahl ist und [mm] $p|a^2+1$, [/mm] dann gilt [mm] $p\equiv [/mm] 1(4)$. Da $x$ dargstellt werden kann als [mm] $x:=(2p_1\cdot p_r)^2+1$, [/mm] ist diese Voraussetzung somit für den kleinsten positiven Teiler $t$ von $x$ erfüllt und es gilt [mm] $t\equiv [/mm] 1(4)$. Demnach ist eine neue zu [mm] $p_1,\cdots p_r$ [/mm] verschiedene Primzahl der Form $4k+1$ gefunden worden.
Viele Grüße
Gregor
> Hallo
> bei a) ist 5 falsch!
> b) würd ich auch so machen! zur 2ten [mm]Frage,(p1*p2..)^2[/mm] ist
> doch ne natürliche Zahl k,
> Bisher hast du das quadrat nicht beachtet!
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mo 30.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich seh keinen Fehler in deiner argumentation
gruss leduar
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