Primzahlen / Primfaktoren < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Sa 22.04.2006 | | Autor: | ChriBue |
| Aufgabe | | Sei n Element natürliche Zahlen keine Primzahl und p der kleinste Primfaktor von n. Zeigen Sie, dass n/p Primzahl ist, wenn [mm] p^3 [/mm] > n gilt. |
Hallo, habe gestern durch den Tag versucht, einen Lösungsansatz zu dieser Aufgabe zu finden, leider bin ich nicht sehr weit gekommen.
Für den Fall [mm] p^3 [/mm] = n ist das ja klar [mm] (p^3/p [/mm] = [mm] p^2 [/mm] liefert eine zusammengesetzte Zahl) und für [mm] p^3n [/mm] gilt?
Klar ist mir auch, dass bei einem klein gewählten n die Abspaltung des kleinsten Primfaktors eine weitere Primzahl liefern muss, doch ich habe Probleme, das formal zu zeigen.
Für die, die einen Ansatz finden, bitte nur Denkanstöße posten. Mit der Lösung an sich will ich mich selber befassen, sonst lerne ich's ja nie... 
Mit bestem Gruß
Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Sa 22.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Christian und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
also [mm] $p^3>n\quad\gdw\quad p^2>n/p$
[/mm]
also die Zahl, für die wir uns interessieren ist echt kleiner als [mm] p^2 [/mm] , angenommen es wäre eine zusammengesetzte Zahl, die eine Primfaktorenzerlegung [mm] $n/p=p_1 *...*p_k$ [/mm] hat , wir wissen dass für alle i von 1 bis k gilt, dass [mm] $p\le p_i$ [/mm] (denn sonst wäre p nicht der kleinste Primfaktor von n)
seien [mm] p_s [/mm] und [mm] p_t [/mm] die kleinsten der [mm] p_i [/mm] (i=1..k), dann gilt:
[mm] $n/p=p_1 *...*p_k\ge p_s *p_t\ge p^2$, [/mm] was ein widerspruch zu obiger Ungleichung ist.
(aber bitte nochmal gewissenhaft drüber schauen)
viele Grüße
DaMenge
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