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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:26 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich habe einen Satz und habe Probleme diesen zu verstehen.. Deswegen bin ich gerade dabei den Beweis nachzuvollziehen, jedoch leider nur mit mäßigem Erfolg. Ich hoffe, dass mir jemand beim Verstehen des Beweises behilflich sein kann?!
Satz :
Sei [mm] \pi \in \mathbb Z \left[i \right] [/mm] eine Primzahl, dann gilt entweder
[mm] \pi \cdot \overline{ \pi } = p [/mm]
für eine Primzahl [mm] p \in \mathbb Z [/mm] oder es gibt eine Einheit [mm] \epsilon \in \mathbb Z \left[ i \right] [/mm] mit [mm] \pi \cdot \epsilon = p [/mm] mit einer Primzahl [mm] p \in \mathbb Z [/mm].
Beweis :
Sei [mm] \mathfrak {a} =\pi \cdot \mathbb Z \left[ i \right] [/mm]
( Wie kann ich mir dieses Ideal vorstellen und warum ist es ein Primideal? )
[mm] \mathfrak {a} [/mm] ist ein Primideal, d.h [mm] {}^{\mathbb Z \left[ i \right] \!}\!/\!_{\mathfrak {a} } [/mm] ist ein Integritätsring.
( Wie kann ich mir diesen Integritätsring vostellen )
Weiterhin ist [mm] {}^{\mathbb Z \left[ i \right] \!}\!/\!_{\mathfrak {a} } [/mm] ein euklidischer Ring, weil [mm] \pi \cdot \overline{\pi } \in\mathfrak {a} [/mm] und [mm] \pi \cdot \overline{\pi } \in \mathbb Z [/mm] und [mm]
\pi \cdot \overline{\pi } \ne 0 [/mm].
( Was ist denn das für eine euklidische Norm auf dem Ring ? )
Sei [mm] \mathfrak {a}_0 = \mathfrak {a} \wedge \mathbb Z [/mm] und weil [mm] {}^{\mathbb Z \!}\!/\!_{\mathfrak {a}_0 } [/mm] ein Unterring von [mm] {}^{\mathbb Z \left[ i \right] \!}\!/\!_{\mathfrak {a} } [/mm] ist , ist [mm]{}^{\mathbb Z \!}\!/\!_{\mathfrak {a}_0 } [/mm] ein Integritätsring, also folgt [mm] \mathfrak {a}_0 = p \cdot \mathbb Z [/mm] für eine Primzahl [mm] p \in \mathbb Z [/mm].
( Was ist hiermit gemeint [mm] \mathfrak {a}_0 = \mathfrak {a} \wedge \mathbb Z [/mm] ? )
Es gilt [mm] p \in \mathfrak {a} [/mm] ( Warum ? )
Sei [mm] p=\pi \cdor z_3 [/mm] mit [mm] z_3 \in \mathbb Z \left[ i \right] [/mm].
Es folgt
[mm] p^2 = N( \pi ) \cdot N( z_3 ) [/mm]
[mm] \Rightarrow N( \pi ) = p [/mm] oder [mm] N( \pi ) = p^2 [/mm].
Warum ist hier der Beweis beendet???
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann meine Fragen zu beantworten und mir erklären kann warum dieser Beweis so aufgebaut ist... Ich erkenne hier irgendwie keinen 'Leitfaden' :-(.
Vielen Dank im voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 11.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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