Primzahl in Z [i] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 So 14.09.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen alle zusammen!
Im Moment beschäftige ich mich mit dem Ring [mm] \mathbb Z \left[ i \right] [/mm].
Bis jetzt haben wir die euklidische Normfunktion N auf dem Ring kennengelernt. Aber nun kommen Primzahlen ins Spiel und ganz besonders 2 Sätze. Den 1. Satz versuche ich nun seit längerem zu verstehen, aber leider ohne großen Erfolg...
Vielleich könnte mir jemand dabei behilflich sein.
Satz
Sei [mm] p \in \mathbb Z [/mm] eine Primzahl mit
[mm] p \equiv 3 [/mm] mod [mm] 4 [/mm].
Dann ist p eine Primzahl in [mm] \mathbb Z \left[i \right] [/mm].
[ 1. Frage: Sielt "modulo 4" eine besondere Rolle in diesem Ring? Denn bei dem 2. Satz geht es ebenfalls in gewisser weise darum .... ]
Beweis
Wir zeigen, dass p irreduzibel ist.
[ 2. Frage: Liegt das daran, dass dieser Ring ein Hauptidealring und ein Integritätsring ist ? ]
Sei [mm] p = x \cdot y [/mm].
[mm] \Rightarrow p^2 = N(x) \cdot N(y) [/mm]
[ 3. Frage: Ich sehe leider diese Gleichheit nicht :-( ]´
Wir zeigen:
In [mm] \mathbb Z \left[ i \right] [/mm] gibt es kein Element z mit N(z) = p
[4. Frage: Warum zeigen wir das? Wenn wir dies gezeigt haben, sehe ich leider nicht, dass p irreduzibel ist ...Verstehe nict den Zusammenhang :-( ]
Sei [mm] z = a + bi \ (a,b \in \mathbb Z ) [/mm]
[mm] p = N(z) = a^2 + b^2 [/mm]
3 = [mm] a^2 + b^2 [/mm] mod 4 Warum diese Gleichung ??
[mm] \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
& 0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 1 & 2\\
2 & 0 & 1 & 0 & 1\\
3 & 1 & 2 & 1 & 2\\
\end{array}
[/mm]
( In dieser Tabelle ist [mm] a^2 + b^2 [/mm] mod 4 dargestellt für a = 0,1,2,3 in der ersten Zeile und b = 0,1,2,3 in der 1. Spalte )
Diese Gleichung hat keine Lösung mod 4.
[ 5. Frage: Es gibt also keine Lösung, da wir nie 3 herausbekommen? Warum haben wir uns darauf beschränkt a und b von 0 bis 3 zu wählen?
Und warum habe wir nun endlich gezeigt, dass das p irreduzibel ist? ]
Sorry, ich weiß das sind eine Menge fragen, aber ich finde einfach keinen 'Faden' durch diesen Beweis ...
Vielen Dank im Voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo,
> Guten Morgen alle zusammen!
>
> Im Moment beschäftige ich mich mit dem Ring [mm]\mathbb Z \left[ i \right] [/mm].
> Bis jetzt haben wir die euklidische Normfunktion N auf dem
> Ring kennengelernt. Aber nun kommen Primzahlen ins Spiel
> und ganz besonders 2 Sätze. Den 1. Satz versuche ich nun
> seit längerem zu verstehen, aber leider ohne großen
> Erfolg...
> Vielleich könnte mir jemand dabei behilflich sein.
>
> Satz
>
> Sei [mm]p \in \mathbb Z[/mm] eine Primzahl mit
>
> [mm]p \equiv 3[/mm] mod [mm]4 [/mm].
>
> Dann ist p eine Primzahl in [mm]\mathbb Z \left[i \right] [/mm].
>
> [ 1. Frage: Sielt "modulo 4" eine besondere Rolle in
> diesem Ring? Denn bei dem 2. Satz geht es ebenfalls in
> gewisser weise darum .... ]
Ist halt einfach eine Voraussetzung, für Primzahlen mit [mm] $p\equiv 1\mod [/mm] 4$ gilt das im Regelfall nicht wenn ich mich richtig erinnere. Wir benutzen es ja auch im Beweis weiter unten.
>
> Beweis
>
> Wir zeigen, dass p irreduzibel ist.
>
> [ 2. Frage: Liegt das daran, dass dieser Ring ein
> Hauptidealring und ein Integritätsring ist ? ]
Ich muss das unbedingt noch mal auffrischen, wenn ich bloß ein Buch hier hätte...  Also, [mm] $\mathds{Z}[i]$ [/mm] ist soweit ich mich erinnere faktoriell, damit folgt dort aus irreduzibel prim (die andere Richtung gilt ja sowieso immer in Integritätsringen).
>
> Sei [mm]p = x \cdot y [/mm].
> [mm]\Rightarrow p^2 = N(x) \cdot N(y)[/mm]
>
> [ 3. Frage: Ich sehe leider diese Gleichheit nicht :-( ]´
Betrachte $p$ als Element in [mm] $\mathds{Z}[i]$, [/mm] dann ist [mm] $N(p)=N(p+0\cdot i)=p^2$ [/mm] und außerdem $N(p)=N(xy)=N(x)N(y)$.
>
> Wir zeigen:
> In [mm]\mathbb Z \left[ i \right][/mm] gibt es kein Element z mit
> N(z) = p
>
> [4. Frage: Warum zeigen wir das? Wenn wir dies gezeigt
> haben, sehe ich leider nicht, dass p irreduzibel ist
> ...Verstehe nict den Zusammenhang :-( ]
Wenn es keins gibt, dann können $N(x),N(y)$ nur trivial sein, also 1 oder [mm] $p^2$.
[/mm]
>
> Sei [mm]z = a + bi \ (a,b \in \mathbb Z )[/mm]
> [mm]p = N(z) = a^2 + b^2[/mm]
>
> 3 = [mm]a^2 + b^2[/mm] mod 4 Warum diese Gleichung ??
Voraussetzung war [mm] $p\equiv 3\mod [/mm] 4$, aber es ist auch [mm] $p=N(z)=a^2+b^2$, [/mm] also muss auch [mm] $a^2+b^2\equiv 3\mod [/mm] 4$ sein.
>
> [mm]\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
& 0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 1 & 2\\
2 & 0 & 1 & 0 & 1\\
3 & 1 & 2 & 1 & 2\\
\end{array}
[/mm]
>
> ( In dieser Tabelle ist [mm]a^2 + b^2[/mm] mod 4 dargestellt für a =
> 0,1,2,3 in der ersten Zeile und b = 0,1,2,3 in der 1.
> Spalte )
>
> Diese Gleichung hat keine Lösung mod 4.
>
> [ 5. Frage: Es gibt also keine Lösung, da wir nie 3
> herausbekommen? Warum haben wir uns darauf beschränkt a und
> b von 0 bis 3 zu wählen?
Ja. Du rechnest außerdem hier ja in [mm] $\mathds{Z}_4$ [/mm] (modulo bedeutet meine Schreibweise, da gibt's mehrere). Da decken die Zahlen (besser: Klassen) 0,1,2,3 alles ab.
> Und warum habe wir nun endlich gezeigt, dass das p
> irreduzibel ist? ]
Das sollte im oberen Text alles enthalten sein, ich habe versucht, einen "Faden" einzubauen
>
> Sorry, ich weiß das sind eine Menge fragen, aber ich finde
> einfach keinen 'Faden' durch diesen Beweis ...
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
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Nachtrag: Du fragtest ja, ob [mm] $p\equiv 3\mod [/mm] 4$ eine Rolle spielt.
Anderfalls gilt sogar Folgendes:
Wenn [mm] $p\in\mathds{P}$ [/mm] ungerade ist, dann sind äquivalent:
- [mm] $p\equiv 1\mod [/mm] 4$.
- Es existiert ein [mm] $z\in\mathds{Z}[i]$ [/mm] mit $N(z)=p$.
- Die diophantische Gleichung [mm] $x^2+y^2=p$ [/mm] ist lösbar.
LG
Johannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 So 28.09.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Vielen Dank!
Jetzt sehe ich auch den 'Faden' und habe es verstanden!
Viele Grüße
Irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich habe noch eine kleine Zwischenfrage, die sich mir gestern gestellt hat, und wollte nur eure Meinung darüber wissen, ob ich mit meinen Überlegungen richtig liege. Wenn ja, wäre schön, und wenn nein, dann wäre ich über ein Richtigstellung dankbar!
Der Satz lautet:
Sei [mm] p \in \mathbb Z [/mm] eine Primzahl mit [mm] p \equiv 3 \mod 4 [/mm]
Dann ist p eine Primzahl in [mm] \mathbb Z \left[ i \right] [/mm].
Den Beweis habe ich dank vieler Beiträge eurerseits verstanden, danke nochmal dafür!
So, aber gestern habe ich einfach die Zahl 5 betrachtet. Diese Zahl ist in den natürlichen Zahlen eine Primzahl, aber nicht in [mm] \mathbb Z [/mm] oder? Sie hat doch außer sich selber und der eins, auch -5 und -1 als Teiler....
Und wenn ich das richtig sehe erfüllt sie auch nicht die Voraussetzung
[mm] p \equiv 3 \mod 4 [/mm]...
Damit ist sie auch nicht eine Primzahl in [mm] \mathbb Z \left[ i \right] [/mm]. Denn die Primfaktorzerlegung lautet:
[mm] 5 = ( 1- 2i ) ( 1 + 2i ) [/mm].
Sind meine Aussagen hier richtig?
Könnt ihr mir ein Beispiel für ein Primzahl in [mm] \mathbb Z [/mm] nennen, die die Voraussetzung erfüllt und somit auch eine Primzahl in
[mm] \mathbb Z \left[ i \right] [/mm] ist?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Mi 29.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> Der Satz lautet:
>
> Sei [mm]p \in \mathbb Z[/mm] eine Primzahl mit [mm]p \equiv 3 \mod 4[/mm]
>
> Dann ist p eine Primzahl in [mm]\mathbb Z \left[ i \right] [/mm].
>
> So, aber gestern habe ich einfach die Zahl 5 betrachtet.
> Diese Zahl ist in den natürlichen Zahlen eine Primzahl,
> aber nicht in [mm]\mathbb Z[/mm] oder? Sie hat doch außer sich
> selber und der eins, auch -5 und -1 als Teiler....
wie habt ihr denn primzahl in einem ring $R$ definiert? häufig verwendet man die definition $p$ prim [mm] $\Longleftrightarrow$ [/mm] ($ p |ab [mm] \Longrightarrow [/mm] p|a [mm] \vee [/mm] p|b$).
in [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] sind die primelemente gerade [mm] $\{p, -p : p \in \mathbb{N} \textrm{ primzahl}\} \cup \{0\}$, [/mm] insbesondere ist $5$ eine primzahl, mach dir das mit eurer definition klar (die definition, an welche du hier vermutlich denkst, nämlich $p$ ist primzahl, wenn $p$ genau die beiden teiler $1$ und $p$ hat, funktioniert nur in [mm] $\mathbb{N}$).
[/mm]
> Und wenn ich das richtig sehe erfüllt sie auch nicht die
> Voraussetzung
> [mm]p \equiv 3 \mod 4 [/mm]...
> Damit ist sie auch nicht eine
> Primzahl in [mm]\mathbb Z \left[ i \right] [/mm]. Denn die
> Primfaktorzerlegung lautet:
>
> [mm]5 = ( 1- 2i ) ( 1 + 2i ) [/mm].
das stimmt.
> Könnt ihr mir ein Beispiel für ein Primzahl in [mm]\mathbb Z[/mm]
> nennen, die die Voraussetzung erfüllt und somit auch eine
> Primzahl in
> [mm]\mathbb Z \left[ i \right][/mm] ist?
zum beispiel $p = 7, 11, ...$
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Danke für die schnelle Antwort!
Ja, ich habe an die Definition für die natürlichen Zahlen gedacht... Mit der anderen geht es natürlich. Ich wusste nicht, dass die eine Definition nur für die natürlichen Zahlen gilt...
Vielen Dank!
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