Primzahl Äquivalenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] q\geq [/mm] 2 [mm] \in \mathbb{N}.
[/mm]
Beweisen Sie:
(i) [mm] \Leftrightarrow [/mm] (ii) mit:
(i) q ist Primzahl
(ii) Gilt [mm] r\neq [/mm] 1 ist Teiler von q, dann ist [mm] r>\sqrt{q} [/mm] |
Hallo,
folgendes habe ich bereits:
(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii):
Sei q Primzahl. Sei [mm] r\neq [/mm] 1 mit r|q, also [mm] q=n\cdot [/mm] r, [mm] n\in \mathbb{N}.
[/mm]
Nun folgt sofort aus (i), dass gilt n=1, also [mm] q=r\Rightarrow r>\sqrt{q}.
[/mm]
Ich hoffe mal, dass das so geht.
Nun zu [mm] (ii)\Rightarrow [/mm] (i).
Da fehlt mir so etwas der Ansatz. Ich wollte wieder beginnen mit:
Sei [mm] r\neq [/mm] 1 Teiler von q und es gilt [mm] r>\sqrt{q}. [/mm]
Wenn ich dan wieder schreibe [mm] q=n\cdot [/mm] r komme ich nicht weiter.
Irgendwie soll ja q nur einen Primteiler haben, sprich n muss 1 sein.
Wie kann ich da weiterkommen?
Gruß Sleeper
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1. Teil ist richtig, du solltest noch erwähnen, dass q > 1 ist.
2. Teil:
Zeige: Aus nicht (i) folgt nicht (ii).
Zu zeigen: q nicht Primzahl, dann gibt es mindestens einen Teiler r [mm] \not=1 [/mm] mit r [mm] \le \wurzel{q}.
[/mm]
Idee: q nicht Primzahl [mm] \Rightarrow [/mm] hat q mindestens 3 Teiler, also 1, q und t mit 1< t <q.
1. Fall: t [mm] \le \wurzel{q} \Rightarrow [/mm] fertig.
2. Fall: t > [mm] \wurzel{q} \Rightarrow [/mm] t hat einen Partner r mit r [mm] \not=1 [/mm] und [mm] r\not= [/mm] p und r*t=p.
Wegen t > [mm] \wurzel{q} [/mm] und [mm] \wurzel{q}*\wurzel{q}=q [/mm] mus r < [mm] \wurzel{q} [/mm] sein.
Beispiele: 49 ist keine PZ, der Teiler 7 ist gleich der Wurzel.
35 ist keine PZ, zum Teiler 7 (größer als die Wurzel) gehört der Partner 5 (kleiner als die Wurzel).
36 =6*6 hat zu 18 die 2, 12 die 3 und 9 die 4 als jeweiligen Partner, der kleiner als die Wurzel ist.
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> 2. Teil:
> Zeige: Aus nicht (i) folgt nicht (ii).
>
Erstmal danke.
Bloß wenn ich das zeige, hab ich doch auch nur die Hin-Richtung mit Kontraposition gezeigt.
Wenn dann müsste ich auch zeigen: Aus nicht (ii) folgt nicht (i).
Und das hab ich auch noch nicht hinbekommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Fr 16.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > 2. Teil:
> > Zeige: Aus nicht (i) folgt nicht (ii).
> >
>
> Erstmal danke.
> Bloß wenn ich das zeige, hab ich doch auch nur die
> Hin-Richtung mit Kontraposition gezeigt.
> Wenn dann müsste ich auch zeigen: Aus nicht (ii) folgt
> nicht (i).
> Und das hab ich auch noch nicht hinbekommen.
Doch, denn "Aus nicht (ii) folgt nicht (i)." ist äquivalent zu "Aus (i) folgt (ii)".
Ebenso so ist "Aus nicht (i) folgt nicht (ii)." äquivalent zu "Aus (ii) folgt (i)".
Viele Grüße
Rainer
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