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Primitives Element: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Do 20.06.2013
Autor: NiklasKlause

Aufgabe
Zeigen Sie, dass in einem Körper k := K[X]/f mit K = Z/2 und f = [mm] X^3 [/mm] + X + 1 jedes Element (außer 0 und 1) primitiv ist.

Hallo,

an diese Aufgabe bin ich mit folgendem Ansatz rangegangen,

-> Da der grad des Polynomes f 3 und K über Z/2 ist, folgt, dass der Körper aus [mm] 2^3 [/mm] = 8 Elementen besteht.
-> ohne dem "NullModuloPolynom" (k.A., wie man es fachlich bezeichnet :() haben wir dann für jedes a aus dem K* die max. mögliche Ordnung 8 - 1 = 7
-> Da 7 schon eine Primzahl ist, lässt sie sich nicht weiter zerlegen
-> Da es nur eine mögliche Ordnung, die prim ist, für jedes a gibt, ist jedes Element dann primitiv.


Würde mich über ihre Korrektur freuen!
lg Niklas

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Primitives Element: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Do 20.06.2013
Autor: Teufel

Hi!

Genau, du hast hier den Körper [mm] \mathbb{F}_8 [/mm] mit 8 Elementen. Dann gilt [mm] |\mathbb{F}_8^\*|=7, [/mm] weil alle Elemente außer der 0 invertierbar sind (du kannst das Ding ruhig Nullpolynom oder einfach Null  nennen).

Deine Ausführung wird ab hier etwas schwer nachzuvollziehen, aber ich glaube, dass du das richtige meinst. 7 ist also prim, genau. Wenn du also ein Polynom [mm] $a\not=0,1$ [/mm] aus deinem Körper nimmst, dann ist die davon erzeugte Untergruppe [mm] $\left< a \right>$ [/mm] eine Untergruppe von [mm] \mathbb{F}_8^\*. [/mm] Dann gilt aber [mm] |\left< a \right>| [/mm] teilt [mm] |\mathbb{F}_8^\*|=7, [/mm] also muss schon [mm] |\left< a \right>|=7 [/mm] sein (=1 geht nicht wegen [mm] $a\not=1 [/mm] $). Also ist $a$ ein Erzeuger von [mm] \mathbb{F}_8^\*. [/mm]

In etwa so könntest du das machen!

Bezug
                
Bezug
Primitives Element: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:10 Fr 21.06.2013
Autor: felixf

Moin Teufel,

um das ein wenig zu praezisieren:

> Wenn du also ein Polynom [mm]a\not=0,1[/mm] aus deinem Körper nimmst,

Der Koerper besteht nicht aus Polynomen, sondern Restklassen (von Polynomen). Ich wuerde hier eher von Restklassen oder Elementen sprechen, mit Polynom meint man meist etwas anderes ;-)

LG Felix


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