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Primideal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Fr 13.10.2006
Autor: Denny22

Aufgabe
[mm] $V\subset\IQ$ [/mm] Bewertungsring von [mm] $\IQ$ [/mm]
$I$ maximales Ideal von $V$
Da nun [mm] $1\in V\Rightarrow\IZ\subset [/mm] V$
Daher ist [mm] $\IZ\cap [/mm] I$ ein Primideal von [mm] $\IZ$ [/mm]

Hallo an alle,

kurze Frage: Ich finde keine plausible Erklärung dafür, dass

[mm] $\IZ\cap [/mm] I$

ein Primideal ist. Kann mir einer erklären, wieso das so sein muss?

Ich danke euch.

Denny

P.S.: Diese Frage wurde in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Seite gestellt.

        
Bezug
Primideal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:15 Sa 14.10.2006
Autor: felixf

Hallo Denny!

> [mm]V\subset\IQ[/mm] Bewertungsring von [mm]\IQ[/mm]
>  [mm]I[/mm] maximales Ideal von [mm]V[/mm]
>  Da nun [mm]1\in V\Rightarrow\IZ\subset V[/mm]
>  Daher ist [mm]\IZ\cap I[/mm]
> ein Primideal von [mm]\IZ[/mm]
>  Hallo an alle,
>  
> kurze Frage: Ich finde keine plausible Erklärung dafür,
> dass
>  
> [mm]\IZ\cap I[/mm]
>  
> ein Primideal ist. Kann mir einer erklären, wieso das so
> sein muss?

Dies ist ein Spezialfall von folgender, viel allgemeinerer Behaputung: Seien $R$ und $S$ zwei Ringe mit $R [mm] \subseteq [/mm] S$, und sei $P$ ein Primideal in $S$. Dann ist $P [mm] \cap [/mm] R$ ein Primideal in $R$.

Das folgt ganz einfach aus der Primidealeigenschaft: Ein Ideal $P [mm] \subseteq [/mm] R$ eines Ringes $R$ ist genau dann ein Primideal, wenn fuer alle $a, b [mm] \in [/mm] R$ aus $a b [mm] \in [/mm] P$ folgt $a [mm] \in [/mm] P$ oder $b [mm] \in [/mm] P$.

Wenn die Eigenschaft nun fuer alle $a, b [mm] \in [/mm] S$ gilt fuer $P$, dann sicher auch fuer alle $a, b [mm] \in [/mm] R$ mit $P [mm] \cap [/mm] R$ (da $a b [mm] \in [/mm] R$ ist).

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Primideal: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:40 Sa 14.10.2006
Autor: Denny22

Danke,

ist ja eigentlich ganz einfach gewesen.

Ciao

Bezug
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