Primfaktorzerlegung < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Eva |
Hallo liebe Mathe- Freunde,
mir stellt sich hier gerade eine existenzielle Frage (eher für mich persönlich existenziell  ), weil ich an einer Hausaufgabe der 6. Klasse scheitere.
Wie hängen die beiden Sachen voneinander ab, bzw. was für einen Zusammenhang kann man da rein interpretieren?
Primfaktorzerlegung: $210= 2*3*5*7$
Teilermenge: [mm] $T_{315}:(1,3,5,7,9,....,315)$
[/mm]
Ist es so naheliegend, dass ich es nicht sehe oder tatsächlich so kompliziert?
Ich bedanke mich für jeden mathematischen Denkstoß,
liebe Grüße,
Eva
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Eva
>
> Primfaktorzerlegung: [mm]210= 2*3*5*7[/mm]
> Teilermenge:
> [mm]T_{315}:(1,3,5,7,9,....,315)[/mm]
>
Ich weiss jetzt nicht, warum du zwei unterschiedliche Beispiele nimmst: $210$ und $315$.
Ich nehme mal an, du meinst für die Beziehungen die gleiche Zahl.
Die Primzahlzerlegung ist ja einfach das Zerlegen der Zahl in seine kleinstmöglichen Faktoren, also in seine Primfaktoren.
Man schreibt also: $210=2*3*5*7$
Die Teilermenge ist hingegen die Menge aller Zahlen, die bei Division keinen Rest ergeben. Die Teilermenge [mm] $\mathbb{T}$ [/mm] von $210$ ist also:
[mm] $\mathbb{T}=\{1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,30,35,42,70,105,210\}$
[/mm]
Für die Bestimmung der Teilermenge nimmst du also jede mögliche Kombination der Primfaktoren heraus und multiplizierst diese, wobei auch ein Herausgreifen von Null Primfaktoren gültig ist. Das ist zwar jetzt etwas abstrakt für einen Sechstklässler, aber dann macht man daraus einfach den Teiler $1$.
Etwas höhere Mathematik für dich, nicht für den Sechstklässler): wenn eine Zahl $m$ die Primzahlzerlegung $ [mm] p_1^{a}*p_2^{b}*p_3^{c}*p_4^{d}$ [/mm] hat, dann kann die Anzahl [mm] $\nu{(m)}$ [/mm] der Teiler so berechnet werden:
[mm] $\nu{(m)} [/mm] = (a+1)*(b+1)*(c+1)*(d+1)$
Dies einfach als Querkontrolle.
Es gibt auch Formeln, um alle Teiler zu summieren und auch dafür, das Produkt aller Teiler zu berechnen.
Interessieren diese auch noch, oder genügt dir diese Antwort so?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Paul,
> 1. e4 e5 2. Sf3 d6 3. Lc4 Lg4 4. Sc3 h6 5. Sxe5 Lxd1 6. Lxf7+ Ke7 7. Sd5 > schachmatt!
Ich habe mir mal die Freiheit genommen dieses Schachspiel fortzusetzen, da hier ja kein wirkliches Schachmatt stattfindet. Mein Schachprogramm (Arasan) hat mir daraufhin folgende Möglichkeit rausgegeben:
1. e4 e5 2. Nf3 d6 3. Bc4 Bg4 4. Nc3 h6 5. Nxe5 Bxd1 6. Bxf7+ Ke7
7. Bd5 dxe5 8. Bxb7 Bxc2 9. Bxa8 Qd3 10. b3 Nf6 11. Bb2 Kf7 12. f3
Bb4 13. Rf1 Rd8 14. Bd5+ Nxd5 15. exd5 Rxd5 16. Rf2 Bxc3 17. Bxc3 Bb1
18. a3 Nc6 19. Rf1 a5 20. Kf2 Bc2 21. b4 axb4 22. axb4 Nxb4 23. Kg1
Qg6 24. Kh1 Nc6 25. Ra8 Rb5 26. Kg1 Nd4 27. Bxd4 exd4 28. Ra7 Qb6
29. Raa1 Bd3 30. Rfd1 Be2 31. Rdc1 Rb2 32. Kh1 Rxd2 33. Rab1 Rb2
34. Ra1 d3 35. Re1 Qf2 36. Rec1 Bxf3 37. Rxc7+ Kg8 38. Rxg7+ Kxg7
39. Ra7+ Rb7 40. Rxb7+ Bxb7 41. h3 Qxg2# 0-1 {schachmatt!}
Übrigens meinte mein Schachprogramm (![[]](/images/popup.gif) http://www.arasanchess.org/) dies sei eine bekannte Eröffnung nämlich "Philidor's Defense".
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Karl
> Hi Paul,
>
> > 1. e4 e5 2. Sf3 d6 3. Lc4 Lg4 4. Sc3 h6 5. Sxe5 Lxd1 6.
> Lxf7+ Ke7 7. Sd5 > schachmatt!
>
> Ich hab' mir mal die Freiheit genommen dieses Schachspiel
> fortzusetzen
Welches Schachspiel bitte?
Im 7. Zug hüpft in meiner Version der Springer von c3 nach d5, und das ist dann wirklich matt! Schau das nochmals an!
Du in deiner Partie gehst mit dem Läufer von f7 wieder zurück nach d5! Eine schlechte Idee, wie ich meine!
So kann man natürlich keine Schachpartie gewinnen 
Dies Partie wird übrigens mit dem Namen "Seekadettenmatt" oder auch "Matt des Legal" bedacht. Nach einem Bühnenstück von Legal, in welchen der Teufel diese Partie mit Weiss gewonnen hat.
Die Philidorverteidigung. Ja diese Eröffnung wird tatsächlich so benannt. Nach den Zügen 1.e4 e5 2.Sf3 d6 verteidigt Schwarz mit dem d-Bauern den e-Bauern. Das ist die Philidorverteidigung, benannt nach einem sehr alten, aber berühmten Schachspieler aus Frankreich. Eigentlich der Begründer der Schachstrategie.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Eva |
Lieber Paul,
erst einmal recht herzlichen Dank für Deine Antwort!
> Ich weiss jetzt nicht, warum du zwei unterschiedliche
> Beispiele nimmst: [mm]210[/mm] und [mm]315[/mm].
>
> Ich nehme mal an, du meinst für die Beziehungen die gleiche
> Zahl.
Diese tolle Frage entstammt ja nicht aus meinem eigenen Mist.
Es ist die Aufgabe eines Lehrers. Ich habe heute extra noch mal nachgefragt und die Frage wäre angeblich richtig, mit den zwei unterschiedlichen Zahlen!
Macht das für Dich irgendeinen Sinn?
Ich sehe da leider keinen!
> Die Primzahlzerlegung ist ja einfach das Zerlegen der Zahl
> in seine kleinstmöglichen Faktoren, also in seine
> Primfaktoren.
>
> Man schreibt also: [mm]210=2*3*5*7[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Teilermenge ist hingegen die Menge aller Zahlen, die
> bei Division keinen Rest ergeben. Die Teilermenge
> [mm]\mathbb{T}[/mm] von [mm]210[/mm] ist also:
>
>
> [mm]\mathbb{T}=\{1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,30,35,42,70,105,210\}[/mm]
> Für die Bestimmung der Teilermenge nimmst du also jede
> mögliche Kombination der Primfaktoren heraus und
> multiplizierst diese, wobei auch ein Herausgreifen von Null
> Primfaktoren gültig ist. Das ist zwar jetzt etwas abstrakt
> für einen Sechstklässler, aber dann macht man daraus
> einfach den Teiler [mm]1[/mm].
>
> Etwas höhere Mathematik für dich, nicht für den
> Sechstklässler): wenn eine Zahl [mm]m[/mm] die Primzahlzerlegung
> [mm]p_1^{a}*p_2^{b}*p_3^{c}*p_4^{d}[/mm] hat, dann kann die Anzahl
> [mm]\nu{(m)}[/mm] der Teiler so berechnet werden:
>
> [mm]\nu{(m)} = (a+1)*(b+1)*(c+1)*(d+1)[/mm]
>
> Dies einfach als Querkontrolle.
>
> Es gibt auch Formeln, um alle Teiler zu summieren und auch
> dafür, das Produkt aller Teiler zu berechnen.
> Interessieren diese auch noch
Na klar, interessiert mich das. Habe nämlich davon noch nie was gehört und es interessiert mich auf alle Fälle was dazu zu lernen.
Danke schon mal im Voraus für Deine Mühen,
liebe Grüße,
Eva
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 So 26.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Eva
> Lieber Paul,
>
> erst einmal recht herzlichen Dank für Deine Antwort!
>
Ist doch gerne geschehen!
> > Ich weiss jetzt nicht, warum du zwei unterschiedliche
> > Beispiele nimmst: [mm]210[/mm] und [mm]315[/mm].
> Diese tolle Frage entstammt ja nicht aus meinem eigenen
> Mist.
> Es ist die Aufgabe eines Lehrers. Ich habe heute extra noch
> mal nachgefragt und die Frage wäre angeblich richtig, mit
> den zwei unterschiedlichen Zahlen!
> Macht das für Dich irgendeinen Sinn?
Vielleicht sind die Schüler gerade beim Bruchrechnen, genauer beim Kürzen?
Dann vielleicht folgendes: In Anbetracht dessen, dass gilt:
$210=2*105$ und
$315=3*105$
lässt sich bei Division immer etwas herauskürzen.
Die Teiler von $315$ (Es müssen $12$ sein, weil $315 = [mm] 3^2*5*7$ [/mm] ) sind:
$1,3,5,7,9,15,21,35,45,63,105,315$
Ich sehe da also nicht viel mehr, als dass man sagen kann: es ist bei jedem Teiler von $315$ (ausser bei $1$ natürlich) mindestens einer der Primfaktoren von $210$ enthalten. Die $2$ taucht allerdings nie auf.
Bei Division $210$ durch irgend einen Teiler von $315$ - oder umgekehrt - lässt sich also stets etwas herauskürzen. (Natürlich mit der gleichen Ausnahme wie oben).
Viel mehr sehe ich da wirklich nicht, aber vielleicht will der Lehrer ja tatsächlich nur auf das hinaus?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Eva |
Lieber Paul,
Danke für all Deine Antworten!
Habe sie mir jetzt alle mal ausgedruckt und werde sie mir in aller Ruhe reinziehen !
Ich melde mich mal, wie ich damit klar gekommen bin oder ob ich noch die ein oder andere Frage habe,
liebe Grüße,
Eva
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 So 26.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Eva
> > Man schreibt also: [mm]210=2*3*5*7[/mm]
> > Für die Bestimmung der Teilermenge nimmst du also jede
>
> > mögliche Kombination der Primfaktoren heraus und
> > multiplizierst diese, wobei auch ein Herausgreifen von
> > Es gibt auch Formeln, um alle Teiler zu summieren
> Interessieren diese auch noch?
> Na klar, interessiert mich das. Habe nämlich davon noch
> nie was gehört und es interessiert mich auf alle Fälle was
> dazu zu lernen.
Sehr schön. Auch ich lerne gerne immer wieder etwas Neues!
Zuerst muss ich noch eine kleine Begriffsklärung machen! Ich war in der ersten Antwort nicht ganz korrekt. Streng genommen ist die Zerlegung
[mm] $315=3^{2}*5*7$ [/mm] nicht eine Primfaktorzerlegung, weil ja [mm] $3^{2}$ [/mm] gar keine Primzahl ist!
$315=3*3*5*7$ Das ist die Primfaktorzerlegung!
Die Zerlegung [mm] $315=3^{2}*5*7$ [/mm] wird als kanonische Zerlegung bezeichnet!
Also: nehmen wir mal an, wir haben eine Kanonische Zerlegung
[mm] $m=a^{\alpha}*b^{\beta}*c^{\gamma}$
[/mm]
Das liesse sich noch weiterführen, aber fürs Verständnis sollte es bis hierhin reichen. Bei der weiteren Erklärung kannst du dir einfach denken, es gehe jeweils noch weiter
Dann kann man, wie aus meiner ersten Antwort ersichtlich, die Teiler bilden, indem man beliebig Teiler aus der obigen Kanonische Zerlegung herausgreift und miteinander multipliziert.
Und jetz betrachte einmal das Produkt
$ [mm] (1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{\alpha})*(1+b+b^{2}+b^{3}+...+b^{\beta})*(1+c+c^{2}+c^{3}+...+c^{\gamma})$
[/mm]
Wie du sicher weisst, entstehen beim Ausmultiplizieren dieses Produktes als einzelne Summeanden genau alle möglichen Kombinationen von
[mm] $a^{p}*b^{q}*c^{r}$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] p [mm] \le \alpha$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] q [mm] \le \beta$ [/mm] und $0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le \gamma$
[/mm]
Das obige Produkt ist also die Summe aller dieser Kombinationen, sprich: aller Teiler.
Jetzt sieht man aber, dass die obigen Ausdrücke in den Klammern jeweils Geometrische Reihen sind. Und um diese zu berechnen, gibt es da nicht eine Formel?
Ja, es gibt eine:
[mm] $1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{\alpha}=\bruch{a^{\alpha+1}-1}{a-1}$
[/mm]
Somit lässt sich das obige Produkt, sprich die Summe aller Teiler von $m$ [mm] $\sigma(m)$, [/mm] auch so schreiben
[mm] $\sigma(m)=\bruch{a^{\alpha+1}-1}{a-1}*\bruch{b^{\beta+1}-1}{b-1}*\bruch{c^{\gamma+1}-1}{c-1}$ [/mm]
Ein kleines Beispiel: Berechne die Summe aller Teiler von $315$
Mit obiger Kanonischer Zerlegung erhält man sofort:
[mm] $\sigma(315)=\bruch{3^{3}-1}{3-1}*\bruch{5^{2}-1}{5-1}*\bruch{7^{2}-1}{7-1}=\bruch{26}{2}*\bruch{24}{4}*\bruch{48}{6}=13*6*8=624$
[/mm]
Soweit mal zur Summe, zum Produkt folgt bei Gelegenheit dann auch mal was!
Uebrigens noch was:
Es gibt Zahlen, deren Summe aller Teiler (ohne die Zahl selber) gerade wieder diese Zahl ergibt. Solche Zahlen heissen Vollkommene Zahlen
Zum Beispiel $6$: die Teiler ausser $6$ selber sind $1,2$ und $3$. Die Summe davon ist wieder $6$.
Oder $28$: Die Teiler sind $1,2,4,7$ und $14$, ihre Summe ist $28$
Oder $496$: Die Teiler sind $1,2,4,8,16,31,62,124$ und $248$, ihre Summe ist $496$
Die Griechischen Mathematiker kannten dazu noch $8'128$ als Vollkommene Zahl, mehr nicht.
Um das Jahr 1500 wurde dann noch $33'550'336$ gefunden.
Bis zur Mitte des 17. Jahrhunderts dann noch:
$8'589'869'056$
$137'438'691'328$ und
$2'305'843'008'139'952'128$
Wäre es jetzt nicht eine Lebensaufgabe für dich, noch eine Weitere zu finden?
Na ja, alle vollkommenen Zahlen habe die Form [mm] $2^{p-1}*(2^{p}-1)$, [/mm] wobei $p$ eine Primzahl ist.
Wenn $p$ sogar eine Mersenne-Primzahl ist, dann ist [mm] $2^{p-1}*(2^{p}-1)$ [/mm] mit Sicherheit eine Vollkommene Zahl.
Uebrigens: bis jetzt wurden nur gerade Vollkommene Zahlen gefunden. Dass es auch ungerade gibt, oder ob es gar keine solche geben kann, konnte bis heute noch nicht bewiesen werden!
Aber dieser Beweis wäre doch eine Aufgabe für dich. Du könntest Weltruhm erlangen!!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Eva
nachdem ich dir die Formel für die Anzahl Teiler [mm] $\nu(m)$ [/mm] an den Kopf geworfen habe (ich meine mit dieser Formulierung: ohne Herleitung) und dann auch noch die Formel für die Summe aller Teiler [mm] $\sigma(m)$ [/mm] mit einer kurzen, vielleicht sogar nachvollziehbaren(?) Herleitung gegeben habe, folgt nun auch noch die Formel für das Produkt aller Teiler einer Zahl $m$, abgekürzt mit [mm] $\pi(m)$
[/mm]
Zur Rekapitulation: gegeben sei die Zahl $m$ mit der kanonischen Zerlegung
[mm] $m=a^{\alpha}*b^{\beta}*c^{\gamma}$
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\nu(m)=(\alpha+1)*(\beta+1)*(\gamma+1)$
[/mm]
[mm] $\sigma(m)=\bruch{a^{\alpha+1}-1}{a-1}*\bruch{b^{\beta+1}-1}{b-1}*\bruch{c^{\gamma+1}-1}{c-1}$
[/mm]
[mm] $\pi(m)=m^{\bruch{\nu(m)}{2}}$
[/mm]
Oh, ach ja, die letze Formel gehört ja gar nicht zur Rekapitulation
Einige Ueberlegungen zu [mm] $\pi(m)$ [/mm] anhand des Beispiels $m=315$
(Ist einfacher an einem Beispiel zu zeigen, ist aber, hoffe ich, für den allgemeinen Fall auch einleuchtend)
Die Teilermenge [mm] $\mathbb{T}_{315}$ [/mm] ist:
[mm] $\mathbb{T}_{315}=\{1,3,5,7,9,15,21,35,45,63,105,315\}$
[/mm]
Das Produkt aller Teiler ist somit:
[mm] $\pi(315)=1*3*5*7*9*15*21*35*45*63*105*315$
[/mm]
Das kann so umgestellt werden, indem man von aussen nach innen (es ginge auch umgekehrt) Paare bildet, also so:
[mm] $\pi(315)=(1*315)*(3*105)*(5*63)*(7*45)*(9*35)*(15*21)$
[/mm]
Zum "Glück" ists aufgegangen mit der Paarbildung!
Der Wert jedes Paares ist $m$, die Anzahl der Paare ist [mm] $\bruch{\nu(m)}{2}$, [/mm] womit die oben angegebene Formel schon mal einsichtig erscheint.
Was passiert aber, wenns bei der Paarbildung nicht aufgeht, wenn also eine ungerade Anzahl Teiler vorhanden ist?
Wie man sich leicht überlegt, kann das nur der Fall sein, wenn $m$ eine Quadratzahl ist. Man sieht das bei der Formel für die Anzahl Teiler: damit die Anzahl ungerade wird, müssen alle Faktoren ungerade sein, das heisst, dass alle Griechen weiblich sein müssen, womit $m$ eine Quadratzahl ist.
Auch hier anhand eines Beispiels:
[mm] $m=144=2^{4}*3^{2}$
[/mm]
[mm] $\mathbb{T}_{144}=\{1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144\}$
[/mm]
Auch hier die bekannte Paarbildung:
[mm] $\pi(144)=(1*144)*(2*72)*(3*48)*(4*36)*(6*24)*(8*18)*(9*16)*12$
[/mm]
Hier haben wir [mm] $\bruch{\nu(144)-1}{2}$ [/mm] vollständige Paare, und der letzte Faktor ist [mm] $\wurzel{144}$ [/mm] (allgemein [mm] $\wurzel{m}$)
[/mm]
Somit ist das vollständige Produkt:
[mm] $\pi(m)=m^{\bruch{\nu(m)-1}{2}}*m^{\bruch{1}{2}}=m^{\bruch{\nu(m)}{2}}$ [/mm]
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 So 26.09.2004 | | Autor: | Josef |
Hallo Eva,
die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl ergibt die Teilermenge (nicht mit "Teilmenge" verwechseln!). Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl nennt man Vielfachmenge.
Die Teilermenge einer ganzen Zahl ist die Menge aller ganzen Zahlen, durch die bei der Division eine beliebige ganze Zahl ohne Rest teilbar ist.
Für die Bruchrechnung benötigt man oft die Kenntnis der gemeinsamen Teiler zweier oder mehrerer Zahlen, insbesondere den größten gemeinsamen Teiler. Um die gemeinsamen Teiler herauszufinden, stellt man die Teilermenge jeder einzelnen Zahl fest und vergleicht sie mit einander.
Die gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen erhält man, wenn man die Vielfachen auflistet und vergleicht.
Die Teiler sind von:
210 | 1; 2; 3; 5; 6; 7; 10; 14; 15; 21; 30; 35; 42; 70; 105; 210;
315 | 1; 3: 5;7: 9; 15; 21; 35: 45: 63; 105; 315;
Der größte gemeinsame Teiler von 210 und 315 ist:
3*5*7 = 105
Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 210 und 315 ist:
2*3*3*5*7 = 630
Die Zahlen 210 und 315 haben also einen gemeinsamen Teiler und ein kleinstes gemeinsames Vielfach.
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