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Hallo Leute!
Ich habe folgende scheinbar leichte Aufgabe:
Man schreibe [mm] q=(24x^{4}-120x^{2}+144)*(12x+6)\in\IZ[x] [/mm] als Produkt von Primelementen von [mm] \IZ[x].
[/mm]
So habe ich gerechnet:
[mm] q=24*(x^{4}-5x^{2}+6)*6*(2x+1)
[/mm]
[mm] =2*2*2*2*3*3*(x^{2}-2)*(x^{2}-3)*(2x+1)
[/mm]
Bin ich nun so schon fertig? Denn z.B. [mm] x-\wurzel{2} [/mm] oder [mm] x+\wurzel{3} [/mm] sind doch nicht aus [mm] \IZ[x], [/mm] oder?
Aber irgendwie scheint mir die Aufgabe dann ziemlich einfach zu sein!
Oder hab ich etwas übersehen?!
Liebe Grüße und vielen Dank... Jessi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Di 29.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
das sieht eigentlich schon richtig aus. vielleicht musst du noch nachweisen, dass z.b. [mm] $x^2 [/mm] - 2$ etc. prim in [m] \mathbb{Z}[x] [/m] ist, wenn ihr das irreduzibilitätskriterium von eisenstein hattet ist das aber auch nicht weiter schwer (oder einfach mit dem ansatz [m]x^2 - 2 =(ax + b)(cx+ d) [/m]und dann koeffizientenvergleich, der keine lösung [m] a,b,c,d \in \mathbb{Z} [/m] hat).
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Di 29.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Andreas!
Meinst du nicht, die Erklärung von Jessica reicht aus?
Wenn [mm] $x^2-2$ [/mm] irreduzibel wäre, so müsste es als quadratisches Polynom eine Nullstelle in [mm] $\IZ$ [/mm] haben. Dies wären dann auch Nullstellen der über [mm] $\IR$ [/mm] induzierten Polynomfunktion. Da aber über [mm] $\IR$ [/mm] genau zwei irrationale Nullstellen dieser Polynomfunktion existieren, führte dies zu einem Widerspruch.
Klar, deine Erklärung ist "algebraischer", aber was ist an Jessicas obiger Erkläung falsch?
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Di 29.03.2005 | | Autor: | andreas |
hallo Stefan und Jessica
natürlich hast du recht, Stefan. aber gerade bin ich etwas im algebra wahn, daher vielleicht diese begründung. aber Jessicas erklärung ist natürlich schon ok. 
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Di 29.03.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
Oh WOW, dann hab ich ja doch mal was verstanden!
Also, vielen Dank für eure Hilfe, Jungs! Mein Tag ist gerettet!!!
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