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Primelemente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Mo 13.10.2008
Autor: Irmchen

Guten Tag alle zusammen!

Ich habe hier eine Satz, dessen Beweis ich versuche nachzuvollziehen.
Bei (i) habe ich leider Verständnisprobleme , den Rest kann ich nachvollziehen. Ich hofffe, dass mir jemand den Beweisteil zu (i) erklären kann.

Satz .

Sei R Integritätsring, [m] p [mm] \in [/mm] R [/mm] eine von 0 verschiedene Nichteinheit.
(i) Wenn (p) maximales Ideal ist, so ist p ein Primelement.
(ii) Wenn p ein Primelement ist, so ist p irreduzibel.

Beweis :

(i) Sei (p) maximales Ideal in R, so ist es auch ein Primideal, und somit folgt dass p ein Primelement ist

( die rote markierte Folgerung kann ich nicht vertstehen :-( )

Daraus folgt die Bahauptung !

Zum Beweisteil (ii) hab ich keine Fragen.


Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen

        
Bezug
Primelemente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Mo 13.10.2008
Autor: statler

Hallo!

> Satz .
>  
> Sei R Integritätsring, p [mm]\in[/mm] R eine von 0 verschiedene Nichteinheit.
>  (i) Wenn (p) maximales Ideal ist, so ist p ein Primelement.
>  (ii) Wenn p ein Primelement ist, so ist p irreduzibel.
>  
> Beweis :
>  
> (i) Sei (p) maximales Ideal in R, so ist es auch ein Primideal, und somit folgt dass p ein Primelement ist
>  
> ( die rot markierte Folgerung kann ich nicht vertstehen :-( )

Naja, je nach Definitions- und Wissenslage: Wenn ab durch p geteilt wird, liegt es in (p), also gilt im Restklassenring ab [mm] \equiv [/mm] 0 mod(p). Also gilt z. B. a [mm] \equiv [/mm] 0 mod(p), da Integritätsring, also a Vielfaches von p oder p teilt a.

> Zum Beweisteil (ii) hab ich keine Fragen.

Dassjaschön.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
                
Bezug
Primelemente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Mo 13.10.2008
Autor: Irmchen

Hallo Dieter!

Vielen Dank für die Mühe!
Um noch einmal zu sehen, ob ich das wrklich verstanden habe, fasse ich nochmal zusammen:

> > Satz .
>  >  
> > Sei R Integritätsring, p [mm]\in[/mm] R eine von 0 verschiedene
> Nichteinheit.
>  >  (i) Wenn (p) maximales Ideal ist, so ist p ein
> Primelement.
>  >  (ii) Wenn p ein Primelement ist, so ist p irreduzibel.
>  >  
> > Beweis :



(i) Sei (p) maximales Ideal in R, so ist es auch ein  Primideal.
Da (p) ein Primideal ist, gilt nach Definition, dass für [mm] a,b \in R [/mm] mit [mm] ab \in \mathfrak {p} [/mm] stets [mm] a \in \mathfrak {p} [/mm] oder [mm] b \in \mathfrak {p} [/mm] folgt.
Somit ist also z.B  a [mm]\equiv[/mm] 0 mod(p), und da wir hier einen Integritätsring haben, also Nullteilerfrei muss a Vielfaches  von p sein und somit p teilt a.
( Das ganze ginge auch mit b )

Sehe ich das nun richtig?

Viele Grüße
Irmchen


Bezug
                        
Bezug
Primelemente: OK
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Mo 13.10.2008
Autor: statler

Hi!

>  Um noch einmal zu sehen, ob ich das wrklich verstanden
> habe, fasse ich nochmal zusammen:
>  
> > > Satz .
>  >  >  
> > > Sei R Integritätsring, p [mm]\in[/mm] R eine von 0 verschiedene
> > Nichteinheit.
>  >  >  (i) Wenn (p) maximales Ideal ist, so ist p ein
> > Primelement.
>  >  >  (ii) Wenn p ein Primelement ist, so ist p
> irreduzibel.
>  >  >  
> > > Beweis :
>  
>
>
> (i) Sei (p) maximales Ideal in R, so ist es auch ein  
> Primideal.
>  Da (p) ein Primideal ist, gilt nach Definition, dass für
> [mm]a,b \in R[/mm] mit [mm]ab \in \mathfrak {p}[/mm] stets [mm]a \in \mathfrak {p}[/mm]
> oder [mm]b \in \mathfrak {p}[/mm] folgt.

Mit dieser Definition von Primideal ist es noch einfacher! b [mm] \in [/mm] (p) bedeutet doch genau p teilt b.

>  Somit ist also z.B  a [mm]\equiv[/mm] 0 mod(p), und da wir hier
> einen Integritätsring haben, also Nullteilerfrei muss a
> Vielfaches  von p sein und somit p teilt a.
>  ( Das ganze ginge auch mit b )
>  
> Sehe ich das nun richtig?

Ich hoffe doch.
Gruß
Dieter


Bezug
                                
Bezug
Primelemente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:48 Mo 13.10.2008
Autor: Irmchen

Vielen vielen Dank!

Bezug
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