Primelement < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Fr 17.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Finden Sie alle Primelemente der Ringe [mm] \IZ_{4} [/mm] und [mm] \IZ_{6}. [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich glaub ich verstehe den Begriff des Primelements noch nicht.
Ein Element a eines kommutativen Ringes (R, +, [mm] \cdot, [/mm] 0, 1) mit Einselement heißt Primelement, falls a weder 0 noch eine Einheit ist und für alle Elemente s,r [mm] \in [/mm] R gilt: a|r*s => a|r [mm] \vee [/mm] a|s
In [mm] \IZ_4 [/mm] ist nur 2 keine Einheit und [mm] 2\not=0.
[/mm]
An der Verknüpfungstafel bezüglich der Multiplikation sehe ich:
2|0, 2|2
Jetzt muss ich mir doch anschauen wie ich 0 bzw 2 darstellen kann durch Multiplikation von r,s [mm] \in \IZ_4 [/mm] und dann schauen ob jeweils entweder a|r oder a|s?
Nach der Anschauung wäre 2 ein Primelement, aber die Lösung sagt was anderes.
|
|
| |
|
> Finden Sie alle Primelemente der Ringe [mm]\IZ_{4}[/mm] und
> [mm]\IZ_{6}.[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> Ich glaub ich verstehe den Begriff des Primelements noch
> nicht.
>
> Ein Element a eines kommutativen Ringes (R, +, [mm]\cdot,[/mm] 0, 1)
> mit Einselement heißt Primelement, falls a weder 0 noch
> eine Einheit ist und für alle Elemente s,r [mm]\in[/mm] R gilt:
> a|r*s => a|r [mm]\vee[/mm] a|s
>
>
> In [mm]\IZ_4[/mm] ist nur 2 keine Einheit und [mm]2\not=0.[/mm]
> An der Verknüpfungstafel bezüglich der Multiplikation
> sehe ich:
> 2|0, 2|2
> Jetzt muss ich mir doch anschauen wie ich 0 bzw 2
> darstellen kann durch Multiplikation von r,s [mm]\in \IZ_4[/mm] und
> dann schauen ob jeweils entweder a|r oder a|s?
> Nach der Anschauung wäre 2 ein Primelement, aber die
> Lösung sagt was anderes.
Dann ist die Lösung falsch. Die 0 kannst du nur darstellen als $0=rs $, wenn einer der Faktoren 0 ist, oder beide 2. Da 2 aber 0 und 2 teilt, teilt 2 sicherlich r oder s.
Die 2 können wir als rs nur darstellen. Wenn einer der Faktoren 1 oder 3 ist und der andere 2. Da 2 die 2 teilt, wird einer der Faktoren geteilt.
Alternativ kann man das so sehen:
Man kann zeigen, dass a genau dann prim ist, wenn (a) ein Primideal ist, also wenn der Quotient nach diesem Ideal ein Integritätsbereich ist. Da 2 ein echtes Ideal erzeugt, hat der Quotient nach 2 höchstens 2 Elemente, ist somit NTfrei.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Sa 18.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Genauso hab ich es gemacht!
d.h. doch dann 2 ist Primelement in [mm] \IZ_2 [/mm] und 4,3,2, sind Primelemente in [mm] \IZ_6.
[/mm]
In den Lösungen steht aber:
" In [mm] \IZ_4 [/mm] gibt es nur das Element 2, das keine Einheit ist. Dieses Element ist aber ein Nullteiler, also ist es kein Primelement.
In [mm] \IZ_6 [/mm] sind ebenfalls alle Nichteinheiten Nullteiler und damit gibt es auch hier keine Primelemente."
LG,
sissi
|
|
|
| |
|
Ja, du hast Recht, die Lösung nicht.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 So 19.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ja, du hast Recht, die Lösung nicht.
Das hängt ganz davon ab, wie man Primelement definiert. Wenn man es als Nichtnullteiler voraussetzt, ist die Lösung korrekt.
Es hängt also davon ab, wie Primelement in der Vorlesung, die sissile besucht, definiert wurde.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo,
Gibt es eine ernstzunehmende Quelle, die das so macht? Ich habe das noch nie gesehen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 So 19.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin UniversellesObjekt
> Gibt es eine ernstzunehmende Quelle, die das so macht? Ich
> habe das noch nie gesehen.
Ich kenn das eigentlich nur so 
Im Buch von Bosch (Algebra) wird das z.B. so gemacht, hab grad mal nachgeschaut. Da betrachtet man Primelemente eh nur in Integritätsbereichen. (Das wird meistens gemacht, da Primfaktorzerlegung ausserhalb von Integritätsbereichen nur bedingt Sinn macht. Allgemein betrachtet man Teilbarkeit meist nur in Integritätsbereichen. Dann erspart man sich einen Haufen Spezialfälle und man kann einfach von "dem" Quotienten $a/b$ reden, wenn $b [mm] \mid [/mm] a$ gilt, da dieser eindeutig definiert ist.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
Du hast Recht, der Lang definiert den Begriff der Teilbarkeit auch erst auf Integritätsbereichen, das war mir entfallen. Dann sind meine Antworten also mit Vorsicht zu genießen, da es möglich wäre, dass die Definition des Aufgabenstellers von der im Themenstart gegebenen abweicht.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 So 19.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin UniversellesObjekt
> Du hast Recht, der Lang definiert den Begriff der
> Teilbarkeit auch erst auf Integritätsbereichen, das war
> mir entfallen. Dann sind meine Antworten also mit Vorsicht
> zu genießen, da es möglich wäre, dass die Definition des
> Aufgabenstellers von der im Themenstart gegebenen
> abweicht.
Ah, ich hab die Definition im Start vom Thread offenbar übersehen. Nach der wäre 2 tatsächlich ein Primelement in [mm] $\IZ_6$, [/mm] da dort nicht vorausgesetzt wird, dass Primelemente Nichtnullteiler sein müssen. Also entweder ist die angegebene Definition nicht richtig (bzw. nicht vollständig), oder die Aufgabenlösung stimmt nicht.
LG Felix
|
|
|
|
