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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Sa 05.12.2015 | | Autor: | Mathics |
Hallo,
ich habe zwei Formeln um den Present Value zu berechnen:
(1): X * [mm] (1+r)^{-t}
[/mm]
(2): X * [mm] e^{-r(t-T)}
[/mm]
Was ist hier genau der Unterschied? Kann ich einfach immer die erste Formel benutzen?
LG
Mathics
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> ich habe zwei Formeln um den Present Value zu berechnen:
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> (1): X * [mm](1+r)^{-t}[/mm]
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> (2): X * [mm]e^{-r(t-T)}[/mm]
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> Was ist hier genau der Unterschied? Kann ich einfach immer
> die erste Formel benutzen?
Hallo Mathics
Die beiden Formeln beruhen auf etwas unterschiedlichen
Bezeichnungen, und insbesondere steht das r in beiden
Formeln für unterschiedliche Größen, welche aber beide
das Wachstum bestimmen.
Nennen wir den Barwert ("present value") einmal K .
Bei der Formel (1) steht X für das daraus entstehende
Endkapital nach t Jahren bei Verzinsung (mit Zinseszinsen)
zu p% p.a.
Ferner sei r = p% = [mm] \frac{p}{100}
[/mm]
Dann gilt
X = [mm] K*(1+r)^t [/mm] und folglich K = [mm] X*(1+r)^{-t}
[/mm]
In der Formel (2) kommt zusätzlich die Größe T vor,
welche den aktuellen Zeitpunkt (für den Barwert)
bezeichnet. Das Wachstum wird durch die Formel
X(t) = [mm] K*e^{r*(t-T)} [/mm]
also mittels einer e-Funktion beschrieben. Das r in
dieser neuen Formel hat also eine etwas andere Bedeutung
als in der Formel (1).
Um den genauen Zusammenhang zwischen den
unterschiedlichen r-Werten klar zu machen, möchte
ich nun die beiden Werte durch Indices unterscheiden.
Ferner können wir, um die Formeln einander gegenüber
zu stellen, T:=0 setzen. So kommen wir auf die Formeln:
(1) [mm] K_1(t) [/mm] = [mm] X*(1+r_1)^t
[/mm]
(1) [mm] K_2(t) [/mm] = [mm] X*e^{r_2*t}
[/mm]
Um Übereinstimmung zu erhalten, müsste also gelten:
$\ [mm] (1+r_1)^t\ [/mm] =\ [mm] e^{r_2*t}$
[/mm]
Daraus folgt
$\ [mm] 1+r_1\ [/mm] =\ [mm] e^{r_2}$
[/mm]
also
$\ [mm] r_1\ [/mm] =\ [mm] e^{r_2}-1$
[/mm]
bzw.
$\ [mm] r_2\ [/mm] =\ [mm] ln(1+r_1)$
[/mm]
Für sehr kleine Werte, also [mm] |r_1|<<1 [/mm] oder [mm] |r_2|<<1 [/mm] , liegen die beiden
Werte nahe beieinander, für [mm] r\to [/mm] 0 stimmen sie "asymptotisch" überein.
LG , Al-Chwarizmi
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