Prädikatenlogik - Übersetzung < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 So 23.05.2010 | | Autor: | Shlomoe |
| Aufgabe | Ich soll folgenden Satz in die Prädikatenlogik übersetzen:
Jedes Tier das keine Nieren hat, hat auch kein Herz. |
Mein Vorschlag:
∀ x[Tx ⋀ NEG Hn] →∀x [Tx ⋀ NEG Hn ⋀ NEG Hh]
Ist das richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 23.05.2010 | | Autor: | Shlomoe |
| Aufgabe | Und noch zwei Sätze:
2) Jedes nierenlose Tier hat kein Herz.
3) Alle Schafe, die blöken haben Angst
Kann da bitte mal jemand drüberschauen ob das so richtig ist?
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2) ∃x [Tx ∧ NEG Hn] ⇒∃x [Tx ∧ NEG Hn] ∧ NEG Hh
3) ∀x (Sx ∧ Bx) ⇒H(s,a)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Di 25.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
> 2) Jedes nierenlose Tier hat kein Herz.
> 2) ∃x [Tx ∧ NEG Hn] ⇒∃x [Tx ∧ NEG Hn] ∧ NEG Hh
Diese Aussage hatten wir ja schon in den anderen beiden Fragen. Zu deinem Lösungsversuch hier: Er besagt (abgesehen von den fehlenden x hinter Hn und Hh):
"Wenn es ein nierenloses Tier gibt, dann gibt es auch ein nierenloses Tier ohne Herz." (*)
Wenn jedes nierenlose Tier kein Herz hat, gilt zwar auch die Aussage (*), aber aus (*) lässt sich nicht folgern, dass JEDES nierenlose Tier kein Herz hat.
> 3) Alle Schafe, die blöken haben Angst
> 3) ∀x (Sx ∧ Bx) ⇒H(s,a)
Das sieht gut aus! Was du mit H(s,a) meinst, ist mir allerdings nicht klar. Schreibe einfach stattdessen Hx, wobei H ein einstelliges Prädikatszeichen sei, das für "hat Angst" steht.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:00 Di 25.05.2010 | | Autor: | Shlomoe |
| Aufgabe | | Jeder Bauer, der einen Esel hat, schlägt ihn |
Bzgl. H(s,a)=
H sollte für Haben stehen, s für Schafe und a für Angst
Ich hatte mich an dem Satz GÜNTHER SPENDIERT EIN BIER = [mm] \exists [/mm] x [B (x) & S (g,x)] aus meinem Semantik-Buch orientiert, da ich dachte, dass das vom Prinzip her das Gleiche ist, wie ALLE SCHAFE DIE BLÖKEN HABEN ANGST.
Aber ich glaube so langsam, so gaaaanz langsam wird mir die Sache klar.
Die Übersetzung für obrigen Satz müssen dann wie folgt lauten, oder?:
Es sei B = Bauer
E = Esel
H = haben
S = schlagen
[mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y (B(x) [mm] \wedge [/mm] E(y) [mm] \wedge [/mm] H (x,y) [mm] \Rightarrow [/mm] S (x,y)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 28.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Sa 29.05.2010 | | Autor: | Shlomoe |
Würde mich weiterhin über eine Antwort freuen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Sa 29.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Gut, dass du noch mal nachgehakt hast. Ich hatte die ganze Zeit diese Frage auf meiner Liste, aber komme im Moment mit den Fragen, die ich alle beantworten möchte, gar nicht hinterher und wusste nun
nicht, ob du noch an einer Antwort interessiert bist. Du kannst übrigens so ein Nachhaken durchaus als Frage statt als Mitteilung deklarieren. Dann sehen alle potentiellen Antwortgeber, dass eine unbeantwortete Frage vorliegt.
> 3) ∀x (Sx ∧ Bx) ⇒H(s,a)
> Bzgl. H(s,a)=
> H sollte für Haben stehen, s für Schafe und a für
> Angst
Es sollte dann in jedem Fall x statt s heißen. Sonst ist s eine freie Variable. Damit wäre die Formel in einem Modell bei einer Belegung der freien Variablen s und a durch [mm] $s_0$ [/mm] und [mm] $a_0$ [/mm] genau dann wahr, wenn in dem Modell [mm] $s_0$ $a_0$ [/mm] hat. Die Formel soll aber ausdrücken, dass ALLE Objekte [mm] $x_0$ [/mm] des Modells, wenn sie in diesem Modell Schaf sind und blöken, Angst haben.
Eine freie Variable a in die Formel aufzunehmen, die für Angst stehen soll, ist nur sinnvoll, wenn alle betrachteten Modelle als Objekte neben Schafen auch ein Objekt Angst haben, mit dem sich dann die Formel belegen lässt, und wenn nur solche Belegungen betrachtet werden. (Oder besser: Können bei euch Sprachen der Prädikatenlogik neben Prädikats-Zeichen auch Konstanten-Zeichen enthalten? In diesem Fall wäre es sinnvoll, a als Konstanten-Zeichen zu verwenden.)
Ob in prädikatenlogischen Formalisierungen von Aussagen bei euch überhaupt freie Variablen, die dann in bestimmtem Sinne belegt werden sollen, auftreten dürfen, weiß ich nicht. Schöner und einfacher ist auf alle Fälle hier sicherlich, ein einstelliges Prädikats-Zeichen für "hat Angst" zu verwenden.
> Ich hatte mich an dem Satz GÜNTHER SPENDIERT EIN BIER =
> [mm]\exists[/mm] x [B (x) & S (g,x)] aus meinem Semantik-Buch
> orientiert,
Die betrachteten Modelle sollen also offensichtlich als Objekte sowohl gewisse Biere als auch ein Objekt Günther enthalten. Ich halte dies noch für etwas nahe liegender als unter Schafen als Objekten ein weiteres Objekt Angst zu betrachten.
> Jeder Bauer, der einen Esel hat, schlägt ihn
Mir ist nicht klar, wie diese Aussage gemeint ist. Soll jeder Bauer, der einen Esel hat, MINDESTENS EINEN Esel, den er hat, oder ALLE Esel, die er hat, schlagen? Wenn letztere Interpretation gemeint ist, lässt sich die Aussage vereinfachen zu: Jeder Bauer schlägt jeden Esel, den er hat.
> Die Übersetzung für obrigen Satz müssen dann wie folgt
> lauten, oder?:
>
> Es sei B = Bauer
> E = Esel
> H = haben
> S = schlagen
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\forall[/mm] y (B(x) [mm]\wedge[/mm] E(y) [mm]\wedge[/mm] H (x,y)
> [mm]\Rightarrow[/mm] S (x,y)
Wenn meine letztgenannte Interpretation der Aussage gemeint ist, stimmt deine Umsetzung!
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Hallo Shlomoe,
Das Prädikat "'hat Niere"' kann durch ein einstelliges Funktionssymbol $N$ dargestellt werden.
Also sollte eine Zeichenfolge, die den Satz "'Jedes Tier, das keine Nieren hat, hat auch kein Herz."' repräsentiert, vielleicht eher so aussehen:
[mm] $\forall [/mm] x[[Tx [mm] \wedge \neg [/mm] Nx] [mm] \rightarrow \neg [/mm] Hx]$
Wenn ich Deinen Ausdruck interpretiere, kommt in etwa Folgendes heraus:
"'Wenn alle Tiere keine Niere haben, dann haben alle Tiere keine Nieren und kein Herz"'.
Diese Interpretation schließt nicht aus, dass es ein Tier ohne Nieren mit Herz gibt.
Gruß mathfunnel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mo 24.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Shlomoe und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Jedes Tier das keine Nieren hat, hat auch kein Herz.
> Mein Vorschlag:
>
> ∀ x[Tx ⋀ NEG Hn] →∀x [Tx ⋀ NEG Hn ⋀ NEG Hh]
Deinen Vorschlag würde ich am ehesten folgendermaßen übersetzen:
"Falls alle Objekte Tiere sind und keine Niere haben, sind alle Objekte Tiere, haben keine Nieren und haben kein Herz."
Dies ließe sich vereinfachen zu:
"Falls alle Objekte Tiere sind und keine Niere haben, haben sie auch kein Herz."
Wie mathfunnel schon erläutert hat, ist diese Aussage schwächer als die Aussage aus der Aufgabenstellung.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Shlomoe |
| Aufgabe | "Jedes nierenlose Tier hat kein Herz"
Übersetzung in die Prädikatenlogik. |
Ah! Ok, vielen Dank!
Ich glaube mir ist das Prinzip jetzt ein wenig klar.
Als nächste Übersetzung wäre die obige dran.
Das wäre doch im Prinzip das Gleiche, aber nur mit dem Existenzquantor, weil die Domäne in diesem Fall kleiner ist, oder?
Also:
[mm] \exists [/mm] x [(Tx [mm] \wedge \neg [/mm] Nx) [mm] \Rightarrow \neg [/mm] Hx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Mo 24.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
> "Jedes nierenlose Tier hat kein Herz"
>
> Übersetzung in die Prädikatenlogik.
Das ist nur eine Umformulierung der Aussage aus dem Ausgangspost!
> Das wäre doch im Prinzip das Gleiche, aber nur mit dem
> Existenzquantor, weil die Domäne in diesem Fall kleiner
> ist, oder?
Nein, die Aussage besagt nicht, dass ein Objekt mit einer gewissen Eigenschaft EXISTIERT, sondern, dass ALLE Objekte eine gewisse Eigenschaft haben sollen, nämlich: Wenn es sich bei dem Objekt um ein nierenloses Tier handelt, hat es kein Herz.
> Also:
> [mm]\exists[/mm] x [(Tx [mm]\wedge \neg[/mm] Nx) [mm]\Rightarrow \neg[/mm] Hx
Das würde heißen:
"Es existiert ein Objekt, das, wenn es ein nierenloses Tier ist, kein Herz hat."
Beachte, dass dies z.B. schon in allen Modellen erfüllt wäre, in denen es ein Tier mit Niere gibt, völlig unabhängig davon, ob (manche/alle) nierenlose Tiere "herzlos" sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Di 01.06.2010 | | Autor: | Shlomoe |
| Aufgabe | | Jedes Tier das keine Niere hat, hat auch kein Herz. |
Nochmal zu dieser Aufgabe:
Korrekturen gab's zwar noch nicht (das dauert immer 100 Jahre), aber dennoch haben wir diese Übersetzung durchgenommen.
Ich hab folgendes:
[mm] \forall [/mm] x [mm] [(Tier(x)\wedge [/mm] NEG NIERE(x) [mm] \Rightarrow [/mm] NEG Herz (x)]
Der Prof hat folgendes:
[mm] \forall [/mm] x [mm] ((T(x)\wedge [/mm] NEG [mm] \exists [/mm] Z (N(Z) [mm] \wedge [/mm] hat [mm] (x,z))\Rightarrow [/mm] NEG [mm] \exists [/mm] y (H(y) [mm] \wedge [/mm] hat (x,y)))
Die Prof-Lösung ist mir nur so halb klar...
Mal simpel gefragt:
Ist meine Lösung (die ich eigentlich schlüssiger finde) dann völlig falsch?
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Hallo Shlomoe,
Du bist scheinbar im Wesentlichen meinem Vorschlag [mm] "$\forall [/mm] x[[Tx [mm] \wedge \neg [/mm] Nx] [mm] \rightarrow \neg [/mm] Hx]$"
gefolgt. Dabei ist $N$ (hat-Niere) ein Prädikat (Relationssymbol) und nicht, wie von mir geschrieben, ein Funktionssymbol (Funktor). Die Formel ist aber richtig.
Der Unterschied von Deiner Formel
$ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] [(Tier(x)\wedge [/mm] $ NEG NIERE(x) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ NEG Herz (x)]
und der Formel Deines Professors
$ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] ((T(x)\wedge [/mm] $ NEG $ [mm] \exists [/mm] $ Z (N(Z) $ [mm] \wedge [/mm] $ hat $ [mm] (x,z))\Rightarrow [/mm] $ NEG $ [mm] \exists [/mm] $ y (H(y) $ [mm] \wedge [/mm] $ hat (x,y)))
besteht in der unterschiedlichen Wahl der frei wählbaren Funktoren und Prädikate.
Die Formel Deines Professors benutzt das einstellige Prädikat $N$ (ist-Niere) und das zweistellige Prädikat "hat". Somit wird "$x$ hat Niere" ausgedrückt durch "Es gibt ein $y$, das eine Niere ist und $x$ hat $y$".
Beide Formeln sind also richtig, wenn Dein Prädikat "NIERE" als "hat-Niere" interpretiert wird.
Falls ich mich irren sollte, lass es mich bitte wissen.
Gruß mathfunnel
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