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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:31 Do 16.12.2010 | | Autor: | yuppi |
Hallo,
und zwar meine frage ist :
Wie kommt man von : [mm] x^2 [/mm] -12 x + 27 = 0
auf die schnelle auf (x-3) (x-9) = 0
Also der Übungsleiter hat es direkt hingeschrieben.. ich müsste zunächst PQ Formel machen um darauf zu kommen... Kennt Jemand einen schnelleren Weg ?
Gruß yuppi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:39 Do 16.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi yuppi,
entweder hat er die Nullstellen schon gewusst oder den ![[]](/images/popup.gif) Satz von Vieta benutzt.Da kann man bei ganzzahligen Lösung relativ schnell auf die Nst kommen. Oder er hats mit pq-Formel im Kopf gerechnet. Ist wie bei ganzzahligen Nst nicht so schwer, wenn man in Übung ist. 12:2=6 [mm] 6^2=36 [/mm] 36-27=9 [mm] \wurzel{9}=3 [/mm] das dauert auch im Kopf nur 10 Sekunden.
LG walde
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Hallo nochmal,
außer Vieta gibt es auch noch die Tatsache, dass bei einem Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten auch die Nullstellen ganzzahlig sind und das absolute Glied teilen.
> Wie kommt man von : [mm]x^2[/mm] -12 x + 27 = 0
>
> auf die schnelle auf (x-3) (x-9) = 0
Es kommen also in Frage: [mm] \pm1,\ \pm3,\ \pm9,\ \pm27.
[/mm]
Jetzt kommt es drauf an, was Du schneller kannst: quadrieren und multiplizieren, oder dividieren und Wurzelziehen. Danach entscheidet sich, ob Du diese acht ausprobierst oder doch lieber der pq-Formel folgst.
Ich selbst würde [mm] \pm1 [/mm] und [mm] \pm27 [/mm] direkt ausschließen, und von den beiden andern nur die positiven Varianten probieren, also 3 und 9. Und da offenbar keine binomische Formel vorliegt, bleibt nur (x-3)(x-9) zu untersuchen. Und siehe da, das stimmt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:34 Do 16.12.2010 | | Autor: | yuppi |
echt cooler Trick =)
aber man sollte keinesfalls die Prüfung der Nullstellen, verschlampen.
Also : z.B bei : [mm] x^2-7 [/mm] x + 6 = 0
Das absolute Glied teilen ja hier EINS ZWEI DREI UND SECHS....
Also du überprüfst es auch immer und nimmst nicht zwei von diesen auf gut glück =) ?
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> echt cooler Trick =)
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> aber man sollte keinesfalls die Prüfung der Nullstellen,
> verschlampen.
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> Also : z.B bei : [mm]x^2-7[/mm] x + 6 = 0
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> Das absolute Glied teilen ja hier EINS ZWEI DREI UND
> SECHS....
>
> Also du überprüfst es auch immer und nimmst nicht zwei
> von diesen auf gut glück =) ?
Hallo,
wenn man des reverends Trick verwendet, muß man prüfen, ob es Nullstellen sind.
Man kann den Trick natürlich mit dem Vieta-Satz kombinieren, dann muß man nicht mehr gucken, ob wirklich 0 herauskommt.
Aber wie auch immer: ganz ohne zu rechnen geht es meist nicht.
Beachte, daß Du bei den Teilern die negativen auch beachten mußt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Do 16.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
das habe ich nicht geschickt formuliert.
walde weist mich darauf zu Recht hin und gibt das instruktive Beispiel
[mm] f(x)=x^2-x-1
[/mm]
Diese Funktion hat, wie sich mit Vieta (pq-Formel) leicht nachrechnen lässt, zwei irrationale Nullstellen. Wer sich mal mit dem goldenen Schnitt befasst hat, kennt die Funktion bestimmt. 
Richtig (und auch so gemeint) wäre folgende Formulierung gewesen:
Wenn in einem Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten eine Nullstelle ganzzahlig ist, dann teilt sie das absolute Glied.
Das heißt aber auch, dass man nicht sicher sein kann, dass man mit dieser Methode alle Nullstellen findet.
Fürs Kopfrechnen in Klausuren etc. ist sie trotzdem oft hilfreich, zumal Übungs- und Beispielaufgaben ja oft mit "schönen" (glatten) Werten aufgestellt werden.
In der Praxis kommt man um eine genauere Betrachtung meist nicht herum, manchmal gar die numerische Bestimmung von Nullstellen.
Vielen Dank an walde für den Hinweis!
Hier noch ein Beispiel, bei dem es eben nur "manchmal" klappt:
Man betrachte die Funktionenschar [mm] f_a(x)=x^3+x^2+x+a [/mm] mit [mm] a\in\IZ. [/mm] Jede dieser Funktionen hat genau eine Nullstelle. Diese liege bei x=b. Dann muss gelten: [mm] a=-b(b^2+b+1). [/mm] Man kann damit eine Funktion mit ganzzahliger Nullstelle konstruieren (dann teilt b auch a), aber auch mit irrationaler, z.B. für a=2,3,4,5.
Immerhin sind alle rationalen Nullstellen auch ganzzahlig.
Grüße
reverend
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