www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Potenzreihenentwicklung
Potenzreihenentwicklung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Potenzreihenentwicklung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mi 18.05.2005
Autor: Melli9181

Hallo!
Die andere Frage wegen den Potenzreihen hat mir ja schon sehr geholfen, aber geht das bei einer Entwicklung nicht um Null genauso?
Meine Aufgaben wäre: [mm] \bruch{1}{z ^{2}-5z+6} [/mm] um [mm] z_{0}=0 [/mm]
und [mm] \bruch{1}{(z-i) ^{3}} [/mm] um  [mm] z_{0}=-i [/mm] zu entwickeln.

Meine bisherige Lösung:
[mm] \bruch{1}{z ^{2}-5z+6}=\bruch{1}{z-3}-\bruch{1}{z -2}. [/mm] Mit der geometrischen Reihe komme ich auf:
[mm] \bruch{1}{z ^{2}-5z+6}=- \bruch{1}{3} \summe_{n=o}^{ \infty}( \bruch{1}{3})^{n}z^{n} [/mm] +  [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=o}^{ \infty}( \bruch{1}{2})^{n}z^{n} [/mm]
Aber wie fasse ich das jetzt zu einer Reihe zusammen? Und der Konvergenzradius ist 2, oder? Weil die nächste Polstelle bei 2 ist.

Aber jetzt die zweite Aufgabe???
Das kann  man doch gar nicht als Partialbruchzerlegung schreiben, oder?
Wenn ich versuche als geo Reihe zu schreiben, komme ich auf:
[mm] \bruch{1}{(z-i) ^{3}}=(\bruch{1}{(z-i) })^{3}=(\bruch{-1}{i}\summe_{n=o}^{ \infty}\bruch{1}{i})^{n}z^{n})^ [/mm] {3}.
Aber jetzt??
Der Konvergenzradius ist auch wieder 2, oder?
Ich hoffe mir kann jemand helfen?
Grüßle und danke, Melli
        
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Mi 18.05.2005
Autor: Julius

Hallo melli!

>  Die andere Frage wegen den Potenzreihen hat mir ja schon
> sehr geholfen, aber geht das bei einer Entwicklung nicht um
> Null genauso?
>  Meine Aufgaben wäre: [mm]\bruch{1}{z ^{2}-5z+6}[/mm] um [mm]z_{0}=0[/mm]
> und [mm]\bruch{1}{(z-i) ^{3}}[/mm] um  [mm]z_{0}=-i[/mm] zu entwickeln.
>  
> Meine bisherige Lösung:
>  [mm]\bruch{1}{z ^{2}-5z+6}=\bruch{1}{z-3}-\bruch{1}{z -2}.[/mm] Mit
> der geometrischen Reihe komme ich auf:
> [mm]\bruch{1}{z ^{2}-5z+6}=- \bruch{1}{3} \summe_{n=o}^{ \infty}( \bruch{1}{3})^{n}z^{n}[/mm]
> +  [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=o}^{ \infty}( \bruch{1}{2})^{n}z^{n}[/mm]

[ok]

> Aber wie fasse ich das jetzt zu einer Reihe zusammen?

Ganz einfach:

[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \left[ \left( \bruch{1}{2} \right)^{n+1} - \left( \bruch{1}{3} \right)^{n+1} \right] z^n$ [/mm]

> Und
> der Konvergenzradius ist 2, oder? Weil die nächste
> Polstelle bei 2 ist.

[daumenhoch]
  
> Aber jetzt die zweite Aufgabe???
>  Das kann  man doch gar nicht als Partialbruchzerlegung
> schreiben, oder?
>  Wenn ich versuche als geo Reihe zu schreiben, komme ich
> auf:
>  [mm]\bruch{1}{(z-i) ^{3}}=(\bruch{1}{(z-i) })^{3}=(\bruch{-1}{i}\summe_{n=o}^{ \infty}\bruch{1}{i})^{n}z^{n})^[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> {3}.
>  Aber jetzt??
>  Der Konvergenzradius ist auch wieder 2, oder?
>  Ich hoffe mir kann jemand helfen?

Die Aufgabe ist mal wieder nicht so einfach oder ich bin zu blöd eine einfache Lösung zu sehen. ;-)

Zunächst einmal muss man ja um $z=-i$ herum entwickeln, das scheinst du überlesen zu haben.

Es gilt ja:

$\frac{1}{1-\frac{z+1}{2i}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2i} \right)^n \cdot (z+i)^n$.

Ableiten liefert:

$\frac{1}{2i} \cdot \frac{1}{\left( 1 - \frac{z+1}{2i} \right)^2} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{1}{2i} \right)^n (z+i)^{n-1}$.

Erneutes Ableiten führt zu

(*) $-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left( 1 - \frac{z+1}{2i} \right)^3} = \sum\limits_{n=2}^{\infty} n (n-1) \left( \frac{1}{2i} \right)^n (z+i)^{n-2} =  \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) \left( \frac{1}{2i} \right)^{n+2} (z+i)^n$.

Andererseits ist:

(**) $\frac{1}{(z-i)^3} = \frac{1}{(z+i-2i)^3} = \frac{1}{\left(\frac{z+i}{2i} -1 \right)^3} = - \frac{1}{\left( 1 - \frac{z+i}{2i} \right)^3$.


(*) und (**) zusammen liefern die Lösung.

Viele Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:45 Do 19.05.2005
Autor: Melli9181

Hallo Julius!
Vielen Dank!
Die Aufgabe war wohl wirklich nicht so einfach, aber jetzt ist es mir klar!
Grüßle, Melli
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]