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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Fr 08.05.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Entwickeln Sie folgende Potenzreiche um 0:
[mm] cos(z^2-1) [/mm] |
Ich bin wie folgt vorgegangen:
cos(w) = [mm] \bruch{e^{iw} + e^{-iw}}{2}. [/mm] Diese kann man jeweils einzeln gut entwickeln. So habe ich dann folgendes erhalten:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^k + (-i)^k}{2*k!} [/mm] * [mm] w^k
[/mm]
Sei nun w := [mm] (z^2-1).
[/mm]
[mm] \Rightarrow w^k [/mm] = [mm] (z^2-1)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}*(z^2)^k*(-1)^{n-k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow cos(z^2-1) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n +(-i)^n}{2*n!} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(z^2)^k*(-1)^{n-k}
[/mm]
Doch wie kann ich nun diese zwei Summen zusammenfassen?
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[mm]\cos(u-v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 10.05.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
> [mm]\cos(u-v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v[/mm]
Ja mit dieser Formel habe ich dann einen anderen Lösungsweg gekriegt.
Aber mich würde es wirklich noch sehr intressieren, wie ich den Ausdruck
[mm] cos(z^2-1) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n +(-i)^n}{2*n!}*\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(z^2)^k*(-1)^{n-k} [/mm] noch vereinfachen kann und in die Form einer Potenzreihe bringen kann...
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Hallo johnny11,
> Hallo,
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> > [mm]\cos(u-v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v[/mm]
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> Ja mit dieser Formel habe ich dann einen anderen Lösungsweg
> gekriegt.
> Aber mich würde es wirklich noch sehr intressieren, wie
> ich den Ausdruck
>
> [mm]cos(z^2-1)[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n +(-i)^n}{2*n!}*\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(z^2)^k*(-1)^{n-k}[/mm]
Hier muss doch auch n von 0 aus laufen.
> noch vereinfachen kann und in die Form einer Potenzreihe
> bringen kann...
Untersuche zunächst den Ausdruck
[mm]\bruch{i^n +(-i)^n}{2*n!}[/mm]
Dieser verschwindet, wenn n ungerade ist.
Setzen wir n=2m. dann haben wir
[mm]cos(z^2-1) = \summe_{m=0}^{\infty} \bruch{\left(-1\right)^{m}}{\left(2m\right)!}*\summe_{k=0}^{2m}\vektor{2m \\ k}*(z^2)^k*(-1)^{2m-k}[/mm]
[mm]=\summe_{m=0}^{\infty} *\summe_{k=0}^{2m}\bruch{\left(-1\right)^{m}}{\left(2m\right)!}\vektor{2m \\ k}*(z^2)^k*(-1)^{k}[/mm]
Jetzt wird das Ganze nach Potenzen von z geordnet,
wobei zuerst über k und dann über m summiert wird.
Klar ist, daß der Binomialkoeffizient nur definiert ist, wenn [mm]2m \ge k[/mm].
Daher ist
[mm]=\summe_{k=0}^{\infty} *\left(\summe_{2m \ge k}^{}\bruch{\left(-1\right)^{m}}{\left(2m\right)!}\vektor{2m \\ k}\right)*\left(-1\right)^{k}z^{2k}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 So 10.05.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo MathePower,
Vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen. Diese waren sehr hilfreich.
Grüsse johnny11
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