Potenzreihenentwicklung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:42 Fr 10.10.2008 | | Autor: | meg |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (z-i*\pi )^n [/mm] Potenzreihenenticklung in f(z) = [mm] \bruch{e^z}{z+1}. [/mm] |
Wie kann man berechnen, dass
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (\pi )^n [/mm] konvergiert
b) [mm] a_{1}=\bruch{\pi}{1+\pi^2} [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Fr 10.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (z-i*\pi )^n[/mm] Potenzreihenenticklung in f(z) = [mm]\bruch{e^z}{z+1}.[/mm]
Was hat die Reihe mit der Funktion $f(z)$ zu tun? Oder sind das zwei unabhängige Aufgaben? Schreibe mal die Aufgabe mal genauer hin.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:57 Fr 10.10.2008 | | Autor: | meg |
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (z-i*\pi )^n[/mm]
> Potenzreihenenticklung in f(z) = [mm]\bruch{e^z}{z+1}.[/mm]
> Was hat die Reihe mit der Funktion [mm]f(z)[/mm] zu tun? Oder sind
> das zwei unabhängige Aufgaben? Schreibe mal die Aufgabe mal
> genauer hin.
>
> Gruß, Robert
Potenzreihenentwicklung VON nicht IN, sorry!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:10 Fr 10.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> b) [mm]a_{1}=\bruch{\pi}{1+\pi^2}[/mm] ?
Du kannst die [mm] $a_k$ [/mm] ja einfach mal ausrechnen. Durch die Substitution [mm] $z:=z+i\pi$ [/mm] erhälst du
1) [mm] $\sum_{k\ge0}a_kz^k=f(z+i\pi)=\frac{-e^z}{z+i\pi+1}$.
[/mm]
2) [mm] $\frac{-e^z}{z+i\pi+1}\cdot(z+i\pi+1)=-e^z=-\sum_{k\ge0}\frac{1}{k!}z^k$
[/mm]
Daraus folgt:
3) [mm] $\left(\sum_{k\ge1}a_{k-1}z^k\right)+(1+i\pi)\left(\sum_{k\ge0}a_kz^k\right)=-\sum_{k\ge0}\frac{1}{k!}z^k$
[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich erhälst du eine rekursive Darstellung für [mm] $a_k$. [/mm] Leider habe ich mich auf dem Weg irgendwo verrechnet, vielleicht hast du ja mehr Erfolg.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 So 12.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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