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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Di 08.08.2006 | | Autor: | setine |
| Aufgabe | Bestimme die Potenzreihenentwicklung der rationalen Funktion:
$ [mm] \bruch{1}{x^2 + x -2}$ [/mm] im Punkt [mm] x_0=0 [/mm] und bestimme den Konvergenzradius.
Hinweis: Partialbruchzerlegung |
Hallo Allerseits,
Hab mich jetzt lange mit dieser Aufgabe abgemüht und glaube zu einer Lösung gekommen zu sein.
Stimmt sie auch ;) ?
Partialbruchzerlegung:
[mm] $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x-1} [/mm] - [mm] \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x+2} [/mm] = [mm] \frac{1}{x^2+x-2}$
[/mm]
$g(x) = [mm] \frac{1}{x-1}$
[/mm]
$h(x) = [mm] \frac{1}{x+2}$
[/mm]
Nun hab ich für g(x) und h(x) die Potenzreihenentwicklung (Mac Laurinsche mit [mm] $f(x_0=0)$) [/mm] gemacht:
$g(x) = -1 -x [mm] -x^2 -x^3$ [/mm] ...
$h(x) = [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{4} \cdot [/mm] x + [mm] \frac{1}{8} \cdot x^2$ [/mm] ...
$f(x) = [mm] \frac{1}{3} [/mm] g(x) - [mm] \frac{1}{3} [/mm] h(x) = [mm] -\frac{1}{2} -\frac{5}{12} \cdot [/mm] x [mm] -\frac{3}{8}\cdot x^2$ [/mm] ...
Und dann zum Konvergenzradius:
[mm] $a_n [/mm] = - [mm] \frac{1}{3} -\frac{1}{3 \cdot 2^n}$ [/mm] mit n=1,2,3...
wobei [mm] $a_n$ [/mm] der n-te Koeffizient von f(x) ist.
$|r| < [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] =$ .... [mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty}1+\frac{1}{2^{2n}+n}$
[/mm]
(Habe viele Vereinfachungsschritte ausgelassen)
welches dann im limes zu $|r| < 1$ als Konvergenzradius führt.
Allerdings weiss ich nicht ob das alles stimmt ;) Stimmen meine Ansätze? Wenn ja, gibt es eine schnellere Art diese Aufgabe zu lösen?
Vielen Dank und Gruss,
Setine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo setine,
> Bestimme die Potenzreihenentwicklung der rationalen
> Funktion:
> [mm]\bruch{1}{x^2 + x -2}[/mm] im Punkt [mm]x_0=0[/mm] und bestimme den
> Konvergenzradius.
>
> Hinweis: Partialbruchzerlegung
> Hallo Allerseits,
>
> Hab mich jetzt lange mit dieser Aufgabe abgemüht und glaube
> zu einer Lösung gekommen zu sein.
> Stimmt sie auch ;) ?
>
>
> Partialbruchzerlegung:
> [mm]\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x-1} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x^2+x-2}[/mm]
sieht richtig aus. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> [mm]g(x) = \frac{1}{x-1}[/mm]
> [mm]h(x) = \frac{1}{x+2}[/mm]
>
> Nun hab ich für g(x) und h(x) die Potenzreihenentwicklung
> (Mac Laurinsche mit [mm]f(x_0=0)[/mm]) gemacht:
>
> [mm]g(x) = -1 -x -x^2 -x^3[/mm] ...
> [mm]h(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot x + \frac{1}{8} \cdot x^2[/mm]
> ...
ich fürchte, bei h hat sich ein kleiner fehler eingeschlichen...
man kann bei solchen aufgaben auch gut mit der geometrischen reihe argumentieren, die du vermutlich kennst. es gilt ja
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}x^k=\frac1{1-x}$ [/mm] für $|x|<1$.
Somit hat man für diese 'basis'-rationale funktion auch direkt die potenzreihen-entwicklung und konvergenzradius. dein $g$ ist ja nichts als die negative geometrische reihe und somit richtig.
für $h$ erhalte ich aber etwas anderes:
$ h(x) = [mm] \frac{1}{x+2}=\frac{1}{2-(-x)} =\frac12 \cdot \frac1{1-(-\frac{x}{2})}=\frac12 \summe_{k=0}^\infty (-\frac{x}{2})^k$
[/mm]
Deine Koeffizienten stimmen also bis auf das vorzeichen, das alternieren muss. der konvergenzradius dieser reihe ist 2.
>
> [mm]f(x) = \frac{1}{3} g(x) - \frac{1}{3} h(x) = -\frac{1}{2} -\frac{5}{12} \cdot x -\frac{3}{8}\cdot x^2[/mm]
> ...
>
> Und dann zum Konvergenzradius:
>
> [mm]a_n = - \frac{1}{3} -\frac{1}{3 \cdot 2^n}[/mm] mit
> n=1,2,3...
> wobei [mm]a_n[/mm] der n-te Koeffizient von f(x) ist.
>
> [mm]|r| < \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}| =[/mm]
> .... [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}1+\frac{1}{2^{2n}+n}[/mm]
>
> (Habe viele Vereinfachungsschritte ausgelassen)
>
> welches dann im limes zu [mm]|r| < 1[/mm] als Konvergenzradius
> führt.
>
das müsstest du jetzt noch einmal nachrechnen. ich tippe, am gesamt-konvergenzradius von 1 wird sich nichts ändern.
>
> Allerdings weiss ich nicht ob das alles stimmt ;) Stimmen
> meine Ansätze? Wenn ja, gibt es eine schnellere Art diese
> Aufgabe zu lösen?
>
> Vielen Dank und Gruss,
> Setine
>
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mo 14.08.2006 | | Autor: | setine |
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Ich habe ehrlich gesagt schon nicht mehr mit einer gerechnet ;)
Ich werde das ganze noch einmal anschauen.
Danke,
Setine
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